ЧАСТЬ ВТОРАЯ. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

ГЛАВА VII. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

§ 1. Постановка вопроса и обозначения

Из опыта известно, что твердые тела под влиянием внешних сил претерпевают некоторые изменения формы (деформации), исчезающие при постепенном прекращении действия сил; внезапное же прекращение действия последних вызывает колебательные движения. Теория упругости ставит себе задачей изучение возникающих таким образом деформаций и движений при помощи математических методов. Выражаясь точнее, имеются в виду следующие вопросы.

Рис. 8.

Пусть дано упругое тело, как угодно расположенное. Ограничимся, для простоты, случаем, когда некоторые точки или части поверхности тела неподвижно закреплены, на другие части поверхности действуют заданные силы, а на внутренне точки — сила тяжести или другие объемные силы.

Требуется, во-первых, найти деформацию, испытанную телом (в случае, если задаваемые воздействия устанавливают состояние равновесия) или состояние движения тела; во-вторых, требуется определить "нагрузку материала", т. е. внутренние силы (напряжения), которые выражают силы взаимодействия между различными частицами тела.

Обозначения (рис. 8). Прямоугольные координаты точек упругого тела мы будем обозначать буквами х, у, z. Смещение точки, происшедшее вследствие упругой деформации, будем задавать его проекциями на оси координат.

Компоненты сил, действующих на единицу площади поверхности тела, будем обозначать через а компоненты сил, действующих на единицу объема ("объемные силы") внутри тела — через Если таким образом есть элемент поверхности тела, элемент объема внутри тела, то на первый из них действуют по направлениям осей координат силы а на второй еилы

Внутренние силы, с которыми две соседние частицы тела действуют друг на друга, мы будем характеризовать следующим образом. Представим себе два смежных параллелепипеда, следующих друг за другом в направлении оси х, с ребрами направленными параллельно осям координат, и соприкасающихся вдоль

границы перпендикулярной к направлению оси х. Компоненты силы, с которой элемент (параллелепипед), расположенный справа (т. е. со стороны возрастающих действует на элемент, расположенный слева, обозначим через Таким образом, суть компоненты силы, действующей на единицу площади поверхностного элемента, причем подразумевается сила, с которой элемент тела, расположенный справа, действует на элемент тела, расположенный слева. Аналогично, пусть обозначают компоненты сил, действующих на единицу площади поверхностных элементов, перпендикулярных к осям Векторы этих сил, имеющих компонентами мы будем обозначать соответственно через

Относительно этих сил мы предположим, что они удовлетворяют принципу равенства действия и противодействия. Это значит, что сила, с которой частица 1 действует на через разделяющую их поверхность, равна по величине и противоположна по направлению силе, с которой частица 2 действует на частицу 1. Далее мы предположим, что сила, действующая на бесконечно малый элемент поверхности, проходит через центр тяжести этого элемента (точнее говоря, если есть расстояние точки приложения силы до центра тяжести площади, а — наибольший диаметр последней, то Величины мы будем называть компонентами напряжений, или короче, просто напряжениями. Величины измеряющие составляющие сил, перпендикулярные к площадкам, на которые эти силы действуют, будем называть нормальными напряжениями, а измеряющие составляющие, параллельные этим площадкам, назовем скалывающими напряжениями. Относительно знаков компонентов напряжения заметим следующее правило, вытекающее из вышесказанного. Рассмотрим площадку, ограничивающую бесконечно малый параллелепипед со стороны возрастающих тогда положительны, когда соответствующие им составляющие силы, действующей на единицу площади, направлены соответственно в сторону возрастания На площадку, ограничивающую элементы тела со стороны убывающих х, действует при этом сила, составляющие которой направлены в сторону убывания координат.

Например, величина положительна, когда параллелепипед растягивается с правой стороны вправо, а с левой — влево. Положительные нормальные напряжения соответствуют, таким образом, растягивающей нагрузке материала, а отрицательные — сжимающей.