9. Температура (концентрация) граничной поверхности есть заданная функция времени.

Выше, в 1 мы требовали, чтобы поверхность сохраняла постоянную температуру. Рассмотрим теперь несколько более сложную задачу, требуя, чтобы температура граничной поверхности была заданной функцией

времени. Мы ограничимся при этом одномерным случаем и примем, что тело однородно, изотропно и ограничено с одной стороны плоскостью

Начальная температура есть заданная функция и при на всей плоскости Мы должны, следовательно, решить дифференциальное уравнение (1)

при добавочных условиях:

Рис. 62.

Как и в § 3, 1, разложим задачу на две части, положив где удовлетворяют следующим условиям:

Функция найдена выше и дана формулой (4). Мы должны, следовательно, найти только .

Будем рассматривать нашу задачу как предельный случай некоторой другой задачи, в которой температура на поверхности меняется скачком только в моменты времени В интервале температура имеет постоянное значение Мы можем теперь представить и в виде где под понимается решение дифференциального уравнения (1), удовлетворяющее при граничным условиям:

Введем теперь следующую функцию

Это есть непрерывная функция от х и при также непрерывная функция от но в точке она разрывна относительно и при переходе от отрицательных значений к положительным внезапно изменяется от 0 до 1.

Эта функция удовлетворяет кроме того, как мы видели еще в § 2, 1, дифференциальному уравнению (1). Составив

получим функцию, удовлетворяющую нашим условиям Действительно, при" оба равны нулю, при оба равны единице, а при первое равно единице, а второе нулю. Поэтому

Будем теперь постепеппо уменьшать интервалы и увеличивать их число. В пределе мы придем таким образом к некоторой непрерывной функции на поверхности. Имеем:

где положено Если мы умножим и разделим каждый член суммы (58) на то при предельном переходе вместо оуммы получим интеграл:

годный при где есть последний момент такой, что еще Но так как исчезает при то можно в (59) отбросить интегрирование от до тогда мы получим:

Но, согласно (50):

и следовательно, окончательно:

Теперь мы можем легко проверить, что это решение действительно удовлетворяет всему, что от него требуется. В § 2, 5 мы показали, что есть частный интеграл дифференциального уравнения (1). Ничего не измепится, если вместо подставить что, очевидно, меняет лишь начало отсчета времени. Правда, переменная стоит еще в верхнем

пределе интеграла, но легко видеть, что это несущественно, так как член, возникающий при дифференцировании по верхнему пределу, исчезает при

Чтобы показать, что добавочные условия также выполнены, введем новую переменную а тогда перейдет в выражение:

исчезающее при и переходящее в при Полагая здесь мы вернемся опять к рассмотренному нами в § 3, 1 случаю и найдем прежнее решение. Укажем здесь еще другой способ решения рассматриваемой задачи, основанный на применении преобразования Лапласа, приводящего в соответствие всякой функции и другую функцию как "функцию от функции":

Мы можем распространить это преобразование на пату функцию положив:

где x входит как параметр.

Подставив вместо и в эту формулу и интегрируя по частям, получим:

Умножая обе части дифференциального уравнения (1) на и интегрируя по от до получим, допустив, что порядок дифференцирования по х и интегрирования но можно переставить, и пользуясь граничными условиями (53):

Это — обыкновенное дифференциальное уравнение для фупкции содержащее как параметр. Оно упрощается в данном случае (если только мы вместо и будем рассматривать функцию и, для которой и принимает вид

а это обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Граничное условие при превращается в

где для сокращения письма положено:

Если, кроме того, на бесконечности и исчезает, то должно быть

Таким образом, задача сведена к простой граничной задаче для дифференциального уравнения 2-го порядка. В случае наших граничных условий решение очевидно следующее:

Чтобы теперь от вернуться к и, надо решить интегральное уравнение:

чем мы здеоь запиматься не будем. приходим здесь снова к найденному выше решению (60).