§ 4. Пространственные задачи

1. Равновесие тела, ограниченного бесконечной плоскостью.

Представим себе упругое тело, ограниченное с одной стороны некоторой плоскостью; которую мы выберем за плоскость осу, и не имеющее больше никаких границ; На граничную поверхность пусть действуют внешние силы, составляющие которых (расчитанные на единицу поверхности) в направлении координатных осей, равны соответственно Объемные силы будем считать отсутствующими Пусть тело представляет собой полупространство Мы предполагаем, что на бесконечности тело находится в своем нормальном состоянии, точнее, что, компоненты смещений при удалении в бесконечность стремятся к нулю таким образом, что значения где есть расстояние точки от начала координат, остаются ограниченными.

Равновесие тела однозначно определяется, если на поверхности заданы или внешние силы или смещения или, в более обще случае, если известна величина какого-либо члена каждой из трех пар при Эта задача в общем виде решена Буссинеском с помощью методов теории потенциала, и другим путем решена Черути по методу Бетти, применивщего метод, аналогичный методу Грина в теории потенциала. Мы при мегим метод Фурье, при котором решение подобных задач получается суммированием частных решений. Основной нашей формулой будет служить формула выражающая теорему Фурье, которая может быть представлена в комплексном виде так (мы берем случай двух переменных)

Функция может быть и комплексной

Внешние силы, приложенные к плоскости расчитанные на единицу поверхности, мы обозначим через Условия равновесия на этой плоскости требуют, чтобы при

Наша задача состоит в том, чтобы найти компоненты смещений и так, чтобы они удовлетворяли дифференциальным уравнениям [стр. 252 (7)]:

а на плоскости следующим условиям: либо

где заданные функции от х и у.

Можно поставить вадачу и общее, считая, что в каждой трех пар одна из двух функций задана при

Кроме того, на бесконечности должны исчезать как было принято выше; мы будем предполагать еще, что и объемное расширение исчезает на бесконечности:

Так как дифференциальные уравнения равновесия линейны, то из нескольких частных решений можно составить более общее решение:

x если имеется бесчисленное множество частных решений, то таким способом, емотря по обстоятельствам, можно получить решение в виде бесконечных рядов Или определенных интегралов. Таким образом, вопрос прежде всего заключается в нахождении частных решений надлежащего вида, содержащих достаточное число параметров, для того чтобы можно было составить (суммированием) решение, удовлетворяющее граничным условиям (5) и (6).

Решение, удовлетворяющее этому условию, дается формулами:

где суть постоянные, которыми мы можем еще соответствующим образом распорядиться. Положим сначала, что

на основании чего получаем:

и далее

Подставляя эти выражения в дифференциальные уравнения (3), мы находим, что последние удовлетворяются, если:

Тем самым мы нашли как функцию всех остальных постоянных. Будем ечитать, что чисто вещественные, а у, следовательно, чисто мнимая величина. Тогда при равны нулю. Положим теперь:

где -произвольные функции параметров

Далее

где, согласно (11), надо взять:

Суммируя эти частные решения, мы получаем для общие выражения:

Функции А, B, С, вообще говоря, комплексны. Для того чтобы были вещественны, достаточно, чтобы

были комплексно сопряженными с

т. е. чтобы вещественные частр были четными, а мнимые части нечетными функциями от Действительно, из (14) следует, что при этом и функции

будут обладать такими же свойствами. Отзидч следует, что выражения (15) не будут меняться при замене на если одновременно под знаком интеграла заменить переменные интегрирования Тем самым доказано, что из будут вещезтвенньми при указанном условии.

Определение произвольных функций из граничных условий. Пусть нам заданы на поверхности значения смещений:

предположения, что при величины принимают значения

следует:

Из интегральной формулы Фурье (1), примененной к А, В, С, следует тогда, что:

Так как условия, которым должны подчиняться для того, чтобы были вещественны, как легко видеть, выполнены, то наша вадача решена вполне. Если нам заданы силы на поверхности, то при должно быть

Если выразить напряжения через деформации по формулам:

то из формул (15) следует:

или, применяя формулу (14):

Следовательно, при

где для сокращения положено:

могут быть, аналогично предыдущему, определены на основании интегральной формулы Фурье:

Когда найдены то по формулам (14) и (20) можно вычислить функции тем самым найти смещения

Рис. 13.