6. Разрывы.

До сих пор мы налагали требование, чтобы функции были непрерывными функциями от х. В приложениях однако встречаются случаи, когда целесообразно допускать, что эти функции разрывны. Примерок такого случая может служить струна, которую в некоторый момент оттянули сосредоточенной силой в определенной точке из положения равновесия. Тогда начальное положение струны будет иметь вид, изображенный на рис. 16. В точке приложения сосредоточенной силы функция и значит касательная к начальному положений) струны терпят разрыв (разрыв самой функции определяющей начальное положение струны, само собой разумеется, исключен, если считать, что цельность струны не нарушается). Естественно ожидать, что наши решения останутся применимыми в этом случае, так как ряды остаются сходящимися и решение Даламбера формально вполне применимо. Прежде чем обосновать законность такого применения, рассмотрим получающееся при этом решение. Движение струны получается, если мы, как это показано на рис. 17, рассмотрим волну, бегущую слева направо вдоль струны, и наложим на нее такую же волну, бегущую справа налево. При любом положении наших воли, среднее арифметическое ординат для любого значения х дает значение смещения точки струны в этом месте. Форма струны в некоторый момент времени представляет собой ломаную линию, состоящую из двух или трех отрезков прямой. Точка излома начального положения при движении распадается на две, бегущие вперед и назад со скоростью с.

Доказательство применимости наших формул также и для случая разрывов принадлежит Кристоффелю. Оно основывается на непосредственном прииенении уравнений Ньютона, т. е. закона количества движения, для материальной частицы,

через которую проходит излом. Пусть есть абсцисса точки излома К. Если точка К (рис. 19) перемещается вдоль струны со скоростью а, то за время она переместится на расстояние Сформулируем сперва условие, что точка излома должна находиться как на восходящей, так и на нисходящей ветвях кривой смещений Обозначая смещение левее К через а правее К через мы получаем

или

Значит выражение -должно оставаться постоянным.

При переходе точки разрыва через элемент струны длиною на него действуют следующие силы. Слева на него действует натяжение наклон которого к горизонту есть перпендикулярная к струне составляющая этой силы

Рис. 17.

Рис. 16.

Рис. 18.

Аналогично на правый конец действует сила с нормальной составляющей происходящая от натяжения в общем результирующая их равна

Эта сила действует на элемент в течение времени и полный импульс силы равен

Эту величину надо приравнять увеличению количества движения элемента.

Так как элемент, расположенный сначала на правой ветви, оказывается расположенным затем на левой, то это увеличение количества движения равно

где есть масса единицы длины. Мы получаем отсюда в качестве второго условия (если положим, как и раньше, ) равенство

или

Сравнение с формулой (30) дает нам непосредственно:

т. е. точка излома может распространяться вперед и назад только со скоростью волны с

Рис. 19

Рис. 20.

Обозначая скачок наклона через

а скачок скорости через

мы получаем из предыдущих соотношений:

т. е. скачок скорости находится в определенном отношении к скачку наклона. Если это условие не выполняется, как, например, в случае, когда мы выводим струну из положения равновесия сосредоточенной силой и отпускаем безначальной скорости, так что в точке разрыва получается скачок наклона, но скачок скорости отсутствует, то такой разрыв надо представить себе — как сумму двух изломов, из которых один бежит слева направо, а второй справа налево. Пользуясь обозначениями для заданных разрывов наклона и скорости и обозначая через скачки для точек разрыва, бегущих соответственно вперед и назад получаем для определения четыре уравнения:

Исследуя решение Даламбера, легко убедиться, что оно (так же как решение в виде рядов) удовлетворяет условиям разрыва и, следовательно, может быть непосредственно распространено и на этот ранее исключавшийся нами случай.

Пример. Мы можем в некоторых случаях получить движение струны, без применения общей теории, с помощью условий для движения разрывов. Мы покажем это на следующем примере. Заметим сначала, что дифференциальное уравнение движения струны тождественно удовлетворяется, если есть линейная функция по отношению к каждой из переменных Струна тогда состоит в каждый момент из прямолинейных отрезков.

Рассмотрим случай, когда струна разделяется на два таких отрезка и имеет вид, изображенный на рис. 20. Так как линейно относительно каждой из переменных то производная должна быть линейной функцией от х, т. е.

Постоянные а и обращаются в нуль, так как должно обращаться в нуль на левой ветви при и на правой при Движение обоих прямолинейных отрезков состоит, следовательно, из вращения их с угловыми скоростями вокруг обеих конечных точек, как если бы отрезки были твердыми стержнями. Интегрируя, мы получаем смещения:

( есть постоянная интегрирования 1). Точка излома К находится там, где значит абсящсса этой точки равна

Точка излома должна двигаться с постоянной скоростью Но это возможно только случае, если в знаменателе пропадают члены, содержащие Поэтому должно быть

и

Выбирая, например, положительный знак, получаем:

По абсциссе точки излома вычисляется ее ордината по формуле (42)

Точка излома перемещается, таким образом, с постоянной горизонтальной скоростью слева направо вдоль некоторого отрезка параболы. Прямые, соединяющие точку излома с концами струны, представляют форму рмещенной струны в данный момент времени. Когда точка излома достигает правого конца, то горизонтальная скорость ее движения внезапно переходит от значения с к значению — с. Точка излома начинает двигаться вдоль отрезка параболы:

расположенного симметрично относительно предыдущей, и возвращается по этому отрезку в начало. Скорости точек струны при этом обращении скорости точки излома назад остаются непрерывными.

Рассматривая скорость данной точки струны, мы видим из наших формул, что она движется с постоянной скоростью вниз, пока точка излома находится левее данной очки. Если точка излома лежит правее данной точки, то последняя движется со скоростью — вверх. Когда точка излома проходит через данную точку, то скорость последней меняется скачком, переходя от положительного постоянного значения к отрицательному постоянному значению и наоборот.

По Гельмгольцу приблизительно по такому закону движется струна скрипки. Смычок сообщает тем точкам струны, которых он касается, вышеописанное движение.