5. Бесконечная струна.

Если точки закрепления струны удалить в бесконечность, т. е. рассматривать бесконечную струну, то в решении Даламбера (19) отпадают условия периодичности и нечетности, наложенные на функции Остаются только условия дифференцируемости. В остальном вполне произвольны, но их значения теперь должны быть заданы заранее для всех значений аргумента.

Прежде чем исследовать общее решение, рассмотрим сперва простейший частный случай, когда

Изображаемое этой формулой движение представляет "волну", движущуюся со скоростью с назад (т. е. в сторону убывания вдоль струны. Действительно, если в момент введем новую координатную систему, сдвинутую по отношению к старой координатной системе назад на расстояние т. е. положим то по отношению к новой координатной системе положение струны, которое определяется формулой:

будет таким же, как в момент по отношению к первоначальной системе

Таким образом, для наблюдателя, движущегося со скоростью с навад, форма струны остается все время неизменной.

Если изменим знак у с, то есть положим

то получим совершенно аналогичный результат, только волна теперь распространяется вперед.

Полагая теперь

мы можем общее решение записать в виде:

Оно слагается из волны, бегущей назад:

и волны, бегущей вперед:

Мы рассмотрим несколько подробнее два частных случая, когда струна выведена из своего первоначального положения равновесия без начальной скорости и когда движение струны начинается из начального положения равновесия с заданными скоростями. В частности, предположим, что подобное возмущение струны ограничивается конечной областью с обеих сторон начала координат.

Пусть определяет начальное положение струны, из которого начинается движение без начальной скорости; тогда

Это показывает, что половина возмущения распространяется в виде волны вправо, а другая половина в виде волны влево. На рис. 14 изображено начальное возмущение и затем положение струны через некоторый момент когда оба наполовину уменьшенные возмущения распространились направо и налево.

Рис. 14.

Рассмотрим теперь второй случай; пусть есть начальная екорость движения, начинающегося из положения равновесия; тогда

Так как возмущение в начальный момент ограничивалось отрезком от до то в любой последующий момент времени все точки слева, для которых и точки справа для которых находятся;

в покое. Только для точек внутри отрезка, левый конец которого дается равенством: , а правый — равенством мы получаем интервал интегрирования, захватывающий по крайней мере часть интервала от до где (рис. 14 и 15).

Возмущение, распространяется, следовательно, от граничных точек начального возмущения с волновою скоростью с вправо и влево. Если (при данном настолько велико, что а, т. е. если то границы интегрирования заключают в себе полностью область от — а до и

Движение, следовательно, состоит в том ,что смещение распространяется от места первоначального возмущения направо и налево, так что каждая точка остается в покое до момента времени С момента смещение изменяется до величины и остается в дальнейшем неизменным.

Рис. 15.