5. Применение в эллипсоиду.

Вследствие этой аналогии мы ограничимся магнитным случаем. Пусть эллипсоид с проницаемостью находится в однородном магнитном поле Это поле, конечно, на большом расстоянии не удовле. творяет условиям (6); но так как искомые силы зависят только от поля в непосредственной близости к телу, и так как выражение (16) энергии содержит лишь интегрирование по объему тела, то однородное поле можно с любой точностью считать приближением к основному полю, удовлетворяющему этим условиям. Используя постоянные выражения (28) § 3 для мы получим:

или с помощью формулы для объема эллипсоид

Это выражение энергии зависит от значения напряжения поля и также от направления поля по отношению к главным осям. Поэтому вращению тела по принципу виртуальной работы (2) должен соответствовать момент вращения испытываемый телом в магнитном поле. Пусть есть вектор виртуального вращения тела около центра, в том смысле, в каком это понимается в механике; что же касается основного поля то оно неподвижно в пространстве. В этом случае мы имеем в системе главных осей, неподвижных относительно тела, в которым относятся составляющие соотношение

т. е.

если эта система осей является правовинтовой. Далее, согласно (17), принимая в расчет однородный квадратичный характер формы (17),

С другой стороны, виртуальная работа моментов вращения

Следовательно, принцип (2) дает (так как три независимые вариации):

или в составляющих:

Из этих выражений для моментов можно вывести замечательные следствия. Сначала надо установить некоторые простые соотношения между постоянными По определяющим их формулам (27) § 3 имеем:

Далее, порядок величин обратен порядку величин т. е. когда то

Складывая эти величины, приводя подинтегральные функции в § 3 (27) к общему знаменателю и- вводя в качестве новой переменной интегрирования величину мы получаем:

Отсюда и из формулы (19) следует:

где знак равенства может иметь место только в том случае, когда две из величин равны нулю; это имело бы место в вырожденном случае, когда две из осей с бесконечно велики. В случае сферы .

Формула (20) показывает, что в выражениях для вращающих моментов (18) в фигурных скобках знаменатели всегда положительны даже в диамагнитное случае причем надо исключить только (физически нереальное) значение соответствующее упомянутому особому случаю. Если привести дроби в фигурных скобках к общему знаменателю, то получим, например:

Направление составляющих момента не зависит поэтому от того, будет ли или Все составляющие момента вращения равны нулю, если магнитное поле паралельио одной из главных осей. Направление вращения зависит от относительной величины главных осей, например: момент отрицателен, когда а компоненты оба положительны. Можно высказать следующее общее утверждение: составляющие момента вращения по главным осям вращают в таком направлении, что в каждой главной плоскости, перепендикулярной к составляющей момента вращения, большая из обеих главных осей приводится в совпадение с составляющей поля в этой плоскости кратчайшим путем.

Поэтому положение равновесия эллипсоида устойчиво, если с направлением поля совпадает наибольшая ось, и оно неустойчиво, если совпадает наименьшая или средняя ось; в последнем случае равновесие неустойчиво только по отношению к вращениям около наименьшей оси, в то время как по отношению к вращениям около наибольшей оси оно устойчиво. В случае удлиненного эллипсоида вращения положение ось полю устойчиво, в случае укороченного — оно неустойчиво.

На первый взгляд кажется, что независимость ориентации эллипсоида от знака величины противоречит опытам Фарадея; но эти опыты относились не к случаю однородного поля, а к случаю поля неоднородного, созданного двумя магнитными полюсами. В неоднородном поле возникают силы, которые приводят к добавочным моментам вращения.

Для того чтобы вычислить такие силы, возьмем "квази-однородное поле", т. е. такое поле, которое мало изменяется на протяжении линейных размеров тела. Сообщим телу смещение сохраняя его пространственную ориентацию; пусть при этом

есть виртуальная работа поля. С другой стороны, энергия есть функция положения, которое занимает тело в поле — в общем случае зависящая также от ориентации главных осей относительно направления поля. Следовательно:

Поэтому для силы, испытываемой телом в поле, мы получим, согласно формуле (17) и принципу работы (2):

В случае шара мы имеем:

следовательно

Эта сила не зависит от направления поля и при (парамагнитный случай) в каждой точке имеет то направление, в котором абсолютное значение напряжения поля рзстет быстрее всего, и противоположное направление в диамагнитном случае