ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА

ГЛАВА I. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА

§ 1. Световые лучи и волновые поверхности в любых телах

1. Однородные изотропные тела.

В геометрической оптике рассматривается только одна определенная сторона оптических явлений. Если к моменту световое возмущение успело распространиться до известной поверхности называемой волновой поверхностью, относящейся к моменту то вадача геометрической оптики состоит в том, чтобы ответить на вопрос: в какую поверхность перейдет эта волновая поверхность к моменту вследствие распространения света. Кривые, описываемые отдельными точками волновой поверхности при ее перемещении, называются световыми лучами. Обозначим через скорость распространения светового возмущения вдоль этих лучей или лучевую скорость, а скорость перемещения волновой поверхности в направлении, нормальном к ее положению в данный момент, назовем волновой скоростью. Таким образом, задача геометрической оптики состоит в вычислении пути световых лучей и перемещения волновых поверхностей в предположении, что оптические свойства среды заданы. Геометрическую оптику интересует лишь одна сторона явления, а имевно, величина лучевой скорости в каждой точке среды в любом направлении. 1 Условимся определять точку среды при помощи радиуса-вектора с составляющими в покоящейся прямоугольной координатной системе, а любое направление в этой точке — при помощи единичного вектора с составляющими Тогда среда является оптически определенной в смысле геометрической оптики, если нам задана величина как функция от т. е. зависимость вида:

В том случае, когда не зависит от направления а зависит только от тело называется изотропным 1). Если, кроме того, имеет одно и то же значение во всех точках тела и, следовательно, величина также не входит в функцию, то тело называется однородным. Значение этой постоянной скорости в пустоте мы будем обозначать черев с. Распространение светового возмущения в пустоте или в каком-нибудь однородном изотропном теле можно изучать, сделав простое предположение, что световые лучи распространяются по прямым линиям. Если нам задан пучок световых лучей, в котором через каждую точку проходит только один луч, то каждому значению соответствует некоторое значение единичного вектора луча . Следовательно, такого рода пучок можно описывать при помощи

функции Исследуем прежде всего тот случай, когда функция описывает пучок прямых линий.

Обозначим через элемент дуги кривой; если кривая совпадает с лучом света, то функция должна иметь вдоль всей кривой постоянное значение, т. е.

Вводя векторные обозначения, можно выразить производную но элементу дуги также следующим образом:

Эту формулу легко привести к более удобному виду, если воспользоваться соотношением

где и обозначают произвольные векторные поля.

Полагая в этой формуле и принимая во внимание, откуда следует, что градиент равен нулю, мы получим из (За)

следовательно, согласно (3):

Так как есть единичный, вектор, то величина представляет собой не что иное, как угол между касательными к двум соседним точкам кривой. Частное от деления этого угла на элемент дуги кривой есть, как известно, вектор кривизны к направление которого совпадает с направлением главной нормали, а абсолютное значение равно обратной величине радиуса-вектора. Если при помощи описывается произвольный пучок кривых, то на основании уравнения (4) мы будем иметь:

Световые лучи, следовательно, характеризуются также тем, что Очевидно, что один из способов удовлетворить уравнению (5) заключается в предположении, что

В этом случае, как известно, существует некоторая скалярная функция обладающая тем свойством, что

Обозначая изменение функции при изменении на через мы получим

Рассмотрим семейство поверхностей и предположим, что лежит в касательной плоскости к одной поверхностей, тогда и уравнения (8) и (9) показывают, что перпеядикулярно к поверхности т. е. рассматриваемый пучок световых лучей пересекает поверхность под прямым углом к ней и, следовательно, он образует так называемую нормальную конгруэнцию прямых. Если мы переидем вдоль светового луча, т. е. вдоль

направления, перпендикулярного к поверхности, к соседней поверхности, для которой функция отличается от первоначального значения на то согласно (9)

Так как есть единичный вектор, то в силу соотношения (8)

Отсюда, на основании (10), получим

т. е. расстояние по нормали между двумя соседними поверхностями имеет вдоль всех лучей одно и то же абсолютное вачение. Таким образом, если световое возмущение распространяется от некоторой поверхности к некоторой другой поверхности то, интегрируя (12), мы получим, что есть расстояние по нормали между обеими поверхностями. Поверхности называются волновыми поверхностями. Их можно найти, интегрируя уравнение в частных производных (11), которое называется уравневием эйконала.