§ 3. Запаздывающие потенциалы и поле ускоренно движущегося заряда

Обратимся теперь в интегрированию уравнений Максвелла для случая произвольно движущегося заряда. При этом мы будем широко пользоваться четырехмерной симметрией уравнений.

1. Определение четырехмерного потенциала Ф.

Уравнение (7), § 2, ставит перед нами задачу четырехмерной теории потенциала, которую мы будем решать так же, как соответствующую трехмерную задачу — именно с помощью теоремы Грина. При этом мы сначала будем поступать так, как если бы четвертая координата была вещественной, как и первые три. Теорема Грина для четырех измерений гласит

Слева интегрируется по четырехмерной области справа — по ее трехмерному ограничению внешняя нормаль

Прежде всего найдем четырехмерный аналог Ньютоновского потенциала т. е. решение уравнения имеющее шаровую симметрию вокруг точки.

Такое решение будет, если обозначить через координаты неподвижной, координаты подвижной точки:

При подстановке этого выражения в (1), мы должны исключить из области интегрирования точку О, окружив ее, например, трехмерной шаровой поверхностью К. Одновременно положим Из (1) тогда получается, в силу дифференциальных уравнений для

Справа, кроме шаровой поверхности К, надо было бы интегрировать еще по поверхности, ограничивающей область интегрирования на бесконечности. Однако, мы можем предположить, что в пределе. этот участок интеграции даст нуль.

Поверхность К мы стянем к точке О. При этом элемент уменьшается как тогда как, с другой стороны

соответственно увеличивается

Член с — исчезает для а вместо можно подставить его значение в точке О, т. е. Уравнение (2) превратится тогда в

Здесь обозначает поверхнооть "шара" радиуса единица в четырехмерном пространстве. Она равна Уравнение (2) переходит, следовательно, в окончательную формулу

совершенно аналогичную основной формуле трехмерной теории потенциала. Она дает нам значение в любой пространственно временной точке О с координатами При этом мы можем, не ограничивая общности, выбрать шкалу времени так, чтобы было

Однако, для наших целей, формула (3) требует одного существенного изменения. Положение и скорость заряда заданы нам для вещественных и именно для т. е. для всех моментов времени, предшествующих тому моменту для которого мы хотим вычислить Соответствующие значения отрицательно-мнимы. Следовательно, мы знаем не для вещественных, а отрицательно-мнимых значений Поэтому мы отогнем путь интегрирования от вещественной оси вниз и превратим его в петлю (рис. 86) вокруг отрицательно-мнимой оси. Решение будет попрежнему удовлетворять дифференциальному уравнению как это следует из аналитической формы выражения (3). Для петли на рис. 86 мы можем принять, что значения заданные только на мнимой оси, могут быть продолжены в ее непосредственной окрестности.

Рис. 86.

Далее мы увидим, что установленное сейчас четырехмерное интегральное представление оказывается чрезвычайно полезным.

Сначала мы покажем с его помощью, что (3) удовлетворяет дополнительному условию (8), § 2. Для этого прежде всего необходимо рассмотреть уравнение

Оно тождественно с так называемым гидродинамическим уравнением неразрывности и выражает не что иное как сохранение электрического заряда в пространстве и времени. Оно является поэтому основанием всех электронных представлений. В самом деле, можно переписать следующим образом:

и если это выражение приравнять нулю, мы получим уравнение неразрывности. Впрочем оно следует также из (11) § 2, если обрадовать справа и слева расходимость в трехмерном смысле и учесть

Вычислим теперь четырехмерную расходимость интеграла (3). При этом мы должны дифференцировать по координатам точки О. Но

Поэтому, принимая во внимание (4), можно сделать такие преобразования:

что и нужно было показать.

При проделанном нами интегрировании по частям учтено, что выражение исчезает на границах. Это верно для нашего комплексного пути интегрирования, так же как для первоначального вещественного пути.

В заключение рассмотрим еще уравнения (9) и (9а) § 2. С помощью (3) они дают нам следующее четырехмерное представление поля в виде интеграла:

Иод здесь подразумеваем четырехмерный вектор т. е. четырехмерный радиус-вектор из точки, где находится заряд, в точку, для которой вычисляется поле (точку наблюдения), обозначает антисимметричный тензор, получающийся из произведения векторов и имеющий компоненты

Четырехмерное представление (5) окажется потом особенно полезным и имедицим большие преимущества перед соответствующим трехмерным представлением.