3. Круглая шайба (диск) под действием: нормальных: сил, приложенных к ее границе.

Пусть к круглой шайбе, толщину которой, для простоты, положим равной 1, приложены на границе силы давления, перпендикулярные к границе и равные на единицу длины контура. Для вычислений полезно ввести полярные координаты Если мы вырежем из шайбы криволинейный четырехугольник, ограниченный двумя бесконечно близкими кругами и двумя бесконечно близкими радиусами, то к последнему будут приложены следующие силы:

Так как представление напряжений с помощью функции напряжений не зависит от выбора координатной системы, то эти напряжения могут быть получены из функции напряжений следующим образом. Из формул для напряжений в прямоугольных кординатах

мы выводим следующее правило: напряжение, действующее перпендикулярно, к некоторому прямолинейному сечению, получается двукратным дифференцированием функции по направлению сечения, так что для сечения по направлению радиуса

Скалывающее напряжение вдоль этого прямолинейного сечения получим, если продифференцируем, по направлению этого сечения, компонент градиента в направлении, перпендикулярном к сечению. Компонент градиента в направлении, перпендикулярном к сечению, равен и, следовательно:

Для получения ваметим, что сумма нормальных напряжений не зависит от ориентировки системы координат, и следовательно:

Если выразить оператор Лапласа в полярных координатах, то, как известно:

вычитая отсюда получим:

Заметим теперь, что всякая функция удовлетворяющая уравнению может быть представлена в форме:

[см. выше формула стр. 280], где плоские потенциальные функции. Последние могут быть представлены внутри круга рядами вида

Положим, следовательно

и будем искать коэффициенты так, чтобы на границе круга, т. е. выполнялиоь условие

Скалывающие напряжения

при должны обращаться в нуль при всех значениях 8, и следовательно:

Для того чтобы удовлетворить этим уравнениям, положим:

Тем самым принимает вид:

Мы видим, что член с должен отсутствовать, т. е. должно быть Вычисляя по (35) напряжения, получаем:

В частности при

Так как при нам задано то должно быть:

Отсюда видно, что коэффициенты и являются коэффициентами ряда Фурье функции и вычисляются по известным формулам:

Выше мы потребовали, чтобы Это выполняется на самом деле, так как приложенные силы давления должны уравновешиваться, и поэтому ком- поненты их главного вектора по осям

должны обращаться в нуль.

С практической точки зрения существенно отметить, что опасные места пластинки находятся на ее границе (обоснование этого мы здесь опускаем), и поэтому для суждения о прочности достаточно знать напряжение на границе. Так как тгран по предположению и задано, то необходимо знать только Последнее, однако, по формуле (37) равно и следовательно, мы можем судить о прочности без всяких вычислений. Это получается, конечно, только в случае чисто нормальных напряжений на границе и только для круглых шайб. Приближенно однако можно перенести полученные результаты и на так называемые "некруглые шайбы", нагруженные нормально приложенными силами.