2. Энергетический критерий устойчивости Рауза.

Представим себе, что мы ввели канонические координаты по § 1, 3, в которых квазистатическое движение относительно интегралов § 1, (7) выражается черев постоянные значения , удовлетворяющие уравнениям § 1, (13). В таком случае функция Гамильтона или полная энергия системы представляет собой функцию от смотрим изменение значений этих величин по сравнению с квазистатическим движением как основным движением, причем возмущения должны удовлетворять условиям (1). Произвольные приращения всегда представляют такое возмущение и соответствующее приращение функции согласно § 1, (12) равно:

Предположим теперь, что для системы значений

принимает действительно минимальное значение по отношению ко воем изменениям если только . остаются постоянными, т. е. что полная энергия для квазистатичеекого движения минимальна по сравнению с возмущенными движениями названного типа. При этом предположении Рауз показал, что квазистатическое основное движение устойчиво по отношению ко всем возмущениям этого типа. Доказательство Рауза заключается в следующем. Если какая-либо функция нескольких переменных имеет для определенной системы значений последних минимум, например при , имеет минимальное значение то, выбирая значение функции достаточно близкое к можно всегда достигнуть того, что произвольно приблизятся к х и у. Иначе говоря, если мы хотим добиться того, чтобы то при произвольно малом это может быть достигнуто тем, что в неравенстве будет выбрано достаточно малым. Отсюда следует: если представляет значение энергии для квазистатического основного движения, то, выбирая значение достаточно близким к можно добиться того,

что будут оставаться произвольно близкими к что координаты возмущенного движения все время будут оставаться произвольно близкими к координатам основного движения. Но соответственным выбором значений возмущения в некоторый определенный момент времени всегда можно достигнуть того, что энергия возмущенного движения будет произвольно близка к что вследствие постоянства энергии будет иметь место в продолжение всего возмущенного движения. Но отсюда по определению 1 вытекает устойчивость основного движения. Точно так же можно доказать, что основное движение устойчиво, если принимает для него максимальное значение.

Выразим теперь это условие, например для случая минимума, в виде формул. Выражение в уравнении (2) должно при произвольных значениях быть положительным и обращаться в нуль только вместе с ними. Разложим по теореме Тэйлора но степеням до членов второго порядка включительно. Если черточкой, стоящей над функцией обозначить, что в ней нужно положить то, принимая в расчет § 1, (13), мы получим:

В правой части стоит квадратичная форма величин с постоянными коэффициентами. Если должно быть для основного движения минимумом, то эта квадратичная форма должна быть положительно определенной (или, если должно быть максимумом величины , то — отрицательно определенной).

Если, следовательно, квадратичная форма в уравнении (3) положительно или отрицательно определенна, то квазистатическое движение устойчиво. Однако, в большинстве случаев применение этого критерия непосредственно невозможно, так как введение канонических координат практически невыполнимо. Но квадратичная форма не может потерять свой положительно определенный характер, если посредством линейного однородного преобразования ввести независимые друг от Друга новые переменные. Но в силу касательного преобразования величин являются функциями от первоначальных переменных Поэтому если ограничиться лишь членами первого порядка, являются линейными функциями величин например:

где попрежнему означают отклонения координат возмущенного движения от координат основного движения. Однако величин не независимы друг от друга; между ними на основании уравнения (1), если удержать лишь члены первого порядка, имеется линейных однородных соотношений

Эти соотношения позволяют исключить из величин и выражение уравнения (3) переходит в квадратичную форму переменных, например коэффициенты которых, вообще говоря, уже не являются постоянными, но в общем случае зависят от времени, так как в коэффициенты выражений нужно вставить вместо их значения

при квазистатическом основном движении, которые в общем случае зависят от времени. Если эта форма положительно или отрицательно определенна, то основное движение устойчиво но отношению к возмущениям, удовлетворяющим уравнению (1).

В частности, если мы в качестве основного движения выберем положение равновесия, определяемое условиями:

и исследуем устойчивость по отношению к произвольным возмущениям, то мы должны принять в расчет, что на основании гл. II, § 2, (53) величина для этих значений никогда не может быть максимальна, так как первая часть, а именно кинетическая энергия, при во всяком случае имеет минимум. Следовательно, если в целом должно иметь минимум, то V для положения равновесия должно быть минимальным. Таким образом, мы получаем известный классический критерий Дирихле для устойчивости положения равновесия: потенциальная энергия должна в положении равновесия иметь минимальное значение