3. Представление поля посредством функций комплексной переменной.

Тесная связь, которая существует между уравнением

и функциями комплексной переменной, естественно имеет очень большое значение также и для двухмерных электростатических задач. Искомые потенциальные функции можно рассматривать как вещественную или мнимую часть комплексной функции аргумента

Положим в этом смысле

Электростатическое условие, которому должна удовлетворять потенциальная функция заключается всегда в постоянстве функции на поверхности проводника. Это означает, что функция которую можно назвать комплексной потенциальной функцией, должна на поверхности проводника иметь постоянную мнимую часть или, другими словами, если рассматривать уравнение (22) как конформное отображение плоскости на плоскость поверхности проводников, которые в плоскости представляются некоторыми кривыми, должны после отображения переходить в прямые т. е. в параллели к вещественной оси. Сюда прибавляются еще условия в бесконечно удаленных точках плоскости которые меняются от случая к случаю.

Если имеется одна единственная замкнутая кривая, причем ищется распределение электричества на этой кривой в случае равновесия, то задачу можно еформулировать еще иначе. Так как для окружности эту задачу можно решить без труда, то достаточно отобразить заданную кривую на окружность таким ебразом, чтобы внешняя область переходила во внешнюю область окружности (причем бесконечно удаленная точка должна оставаться бесконечно удаленной), а внутренняя область — во внутреннюю область окружности. Если представляет собою искомое конформное отображение, решающее эту задачу, то потенциальная функция в основном определяется выражением

Для решений, приведенных в 1 и 2, легко можно указать комплексные формы. В случае двух концентрических круговых цилиндров потенциальная функция имела вид:

Соответствующая комплексная функция есть

она в самом деле преобразует окружности на плоскости в горизонтальные прямые на плоскости

В случае двух эксцентрических круговых цилиндров потенциальная функция имела вид:

где расстояния от двух неподвижных точек. Соответствующая комплексная функция равна

где обозначают комплексные координаты обеих неподвижных точек.

Далее, комплексная функция непосредственно связана в случае электростатического поля с вектором напряжения поля . Действительно, на основании § 1, мы имеем:

и далее:

Поэтому можно выравить через одну и ту же функцию следующим обравом:

Из (23), (23) при этом следует:

Эти уравнения в соответствующих обозначениях совпадают с уравнениями Римана для вещественной и мнимой части комплексной функции, и, следовательно, введенная нами функция совпадает с вещественной частью комплексной функции

(По аналогии с гидродинамикой называют функцией тока. Она постоянна вдоль силовых линий электрического поля). Сопоставляя, можно написать:

Таким образом, вектор поля можно получить непосредственно из функции при помощи комплексного дифференцирования, и поэтому его можно рассматривать как комплексный градиент комплексной потенциальной финкции Наконец, плотность заряда на поверхности проводника также можно выразить через Действительно, так как в этом случае плотность заряда выражается, согласно § 1, (5), через нормальную составляющую а касательная составляющая равна нулю, то

и следовательно, плотность заряда выражается через абсолютное значение комплексного градиента, причем ее знак положителен или отрицателен, смотря по тому, направлено ли поле из поверхности наружу или внутрь.