§ 3. Закон Гука и основные уравнения теорнн упругости

1. Закон Гука.

Для установления дифференциальных уравнений теории упругости нам не хватает еще соотношений между напряжениями и деформациями. Эти соотношения могут быть получены, конечно, только из оиыта. Мы ограничимся случаем однородного изотропного тела, т. е. вещества, упругие свойства которого одинаковы во всех точках тела и в котором нет никаких преимущественных направлений.

Для такого материала очевидно главные оси напряжений и деформаций должны совпадать друг с другом. Действительно, так как в направлении главных осей напряжений действуют только нормальные натяжения или давления, то очевидно углы между этими осями должны остаться неизменными, если только не существует анизотропии.

Нам поэтому достаточно математически сформулировать связь между главными напряжениями и главными удлинениями. Для малых деформаций, которыми мы попрежнему ограничиваемся, опыт приводит нас к следующим заключениям. Если к телу приложено растягивающее усилие, то оно получает удлинение в направлении растягивающего усилия, пропорциональное последнему. Одновременно в теле появляется поперечное сжатие, пропорциональное продольному удлинению. При действии нескольких сил на наше тело, действия отдельных сил складываются ("налагаются"). Рассматривая, в согласии со сказанным, направление первого главного напряжения, заключаем, что это главное напряжение вызывает, во-первых, удлинение, пропорциональное и равное если, согласно общепринятому обычаю, обозначим коэффициент пропорциональности

через Величина есть постоянная, зависящая от свойств материала; она называется модулем упругости или модулем Юнга. Одновременно с этим каждое из двух других главных напряжений вызывает в направлении первого главного напряжения некоторое сжатие (отрицательное удлинение), пропорциональное соответствующим удлинениям и Эти сжатия равны если коэффициент пропорциональности обозначить через Величина есть число (определяемая из опыта константа вещества), характеризующее сжатие тела в поперечном направлении, вызываемое его удлинением в продольном направлении. Оно называется пуассоновым числом; обратная величина

— называется коэффициентом Пуассона.

В общей сложности для удлинения по направлению главной оси, соответствующей будем иметь:

и в других главных направлениях соответственно:

Эти формулы годятся и для случая приложенного внешнего давления, если только правильно выбрать знак: отрицательное о соответствует напряжению от давления, отрицательное удлинение равно сжатию в данном направлении.

С помощью формул преобразования для компонентов напряжений и деформаций [§ 2, (12) и (16)] мы можем без дальнейших затруднений преобразовать формулы (1) от главных направлений к любой координатной системе и получить в самом общем виде связь между напряжениями и деформациями.

Обозначая направляющие косинусы углов главной оси через можно записать связь между деформациями и напряжениями в виде:

Переписывая уравнения (1) в виде:

где умножая их соответственно на и складывая, получаем:

так как

Умножая же выражения для справа и слева соответственно на и складывая, получаем:

так как

Рис. 11.

Обозначая для краткости получаем окончательно:

Эти уравнения связывают напряжения с деформациями (SpannuTigs-Delmungs-gleichungen). Физический смысл мы получаем, если представим себе куб (рис. 11), к которому справа и слева, а также сверху и снизу приложены только скалывающие напряжения Это есть случай так называемого чистого сдвига.

При этом углы куба изменятся на если есть площадь грани куба, то следовательно, есть отношение скалывающих напряжений к изменению угла (к углу сдвига); его обычно называют модулем сдвига.