2. Два бесконечных призматических проводника.

В предшествующем применении метода Шварца мы находили статическое распределение электрического заряда на многоугольнике, отображая его на Единичную окружность или на вещественную ось второй комплексной плоскости. Обобщение этого метода решает задачу о вычислении ноля между двумя призматическими проводниками. Проще всего тот случай, когда поперечные сечения обоих проводников простираются в бесконечность, так что промежуточная область между ними односвязна. Пусть между обоими проводниками существует разность потенциалов т. е. потенциалы обоих контуров равны другими словами, конформное отображение, определяемое комплексной потенциальной функцией должно отображать один из контуров на вещественную ось, а другой на параллельную к ней прямую, находящуюся на расстоянии Для простоты рассмотрим функцию для которой параллельная прямая находится на расстоянии

В качестве первого примера возьмем случай, изображенный на рис. 73 (см. также рис. 74), когда след первого проводника представляет прямую след второго проводника есть угол одна сторона которого параллельна первому проводнику и находится от него на расстоянии а. Решение этой задачи позволяет с помощью отражения вычислить также поле между двумя углами, лежащими симметрично относительно оси как указано на рисунках. Возьмем опять выражение где представляет собой функцию, которая вещественна вдоль вещественной оси а вдоль параллельной прямой частью вещественна, частью комплексна, причем ее аргумент определяется внешним углом Так как, далее, при больших отрицательных значениях х

поле должно переходить в однородное, то должно там приближаться к постоянной, равной

Мы удовлетворим этим условиям, выбирая в качестве функции соответ ствующую функцию переменной так как вещественно при и при и Это можно истолковать таким образом, что функция отображает полосу плоскости на верхнюю половину плоскости и таким обравом отображение сводится к методу Шварца. Если вершине А соответствует точка то с помощью соображений, аналогичных тем, которые были применены в 1, можно убедиться, что эти требования будут удовлетворены выражением

Действительно, это отображение дает для т. е. требуемый угол, а для т. е. приближается к требующемуся значению .

Рис. 73.

Рис. 74.

Следовательно, (15) есть решение задачи, а если принять в расчет однозначность решения, то окажется, что (15) есть единственное решение поставленной задачи.

В следующих двух случаях вычисление можно провести дальше, и оно оказывается важным для физических применений:

а) Края бесконечно широких конденсаторных пластин. Когда угол следовательно, (рис. 74), то речь идет о поле между двумя конденсаторными пластинами, которые имеют в направлении, перпендикулярном к плоскости рисунка, бесконечную длину, и ширину которых в направлении отрицательной оси х можно тоже считать бесконечно большой. В действительности же таким образом может быть определено поле вблизи краев пластин конечной ширины. Гельмгольц изучал эту задачу в гидродинамической формулировке. Мы получаем из (15), вводя опять

Для тех значений функции которые обладают большой отрицательной вещественной частью, преобладающее значение получает первый член, представляющий собой однородное поле между пластинами, перпендикулярное к ним при больших отрицательных при большой положительной вещественной части преобладает второй член: Потенциальные линии представляют собой лучи, а линии поля окружности, которые указаны на рисунке.

b) Прямой угол (поле впадины). Случай т. е. играет важную роль при расчетах динамомашин и соответствует полю бесконечно глубокой впадины. В этом случае мы получаем:

или после элементарного интегрирования:

Рис. 75.

При большой отрицательной вещественной части числа преобладает часть, связанная со знаменателем второго члена:

которая представляет собой однородное поле при больших отрицательных при больших положительных значениях вещественной части преобладает первый член: и в качестве линий потенциала и поля опять получаются лучи и окружности (ср. рис. 73).

c) Поле между двумя прямоугольными полюсами. Более общим случаем, чем задача, изученная в является двухмерный случай поля между двумя прямоугольными полюсами (рис. 75). Посредством отражения этот случай опять сводится к случаю одного единственного проводника и плоскости, след которой представляет собой ось Отображение на плоскость надо опять произвести таким образом, чтобы ось отображалась на ось а прямоугольный контур на параллель Отображение производится, как и выше, в форме причем ширина полюсов равна 26, а их расстояние .

Для определения предположим, что точка соответствует точке Тогда середине полюса соответствует должно быть вещественно и не должно обращаться в нуль, когда вещественно; обоим углам полюса соответствуют два нуля функции на параллели которые на рис. 75 обозначены буквами и которые лежат симметрично относительно точки обозначим через Далее,

соответствующие показатели должны равняться половине, так как углы прямые. Наконец, представляет собою четную функцию Всем этим требованиям удовлетворяет следующее уравнение:

где представляют собой постоянные, которые определяются из размеров полюсов, причем вещественно, положительно и больше единицы. Однозначность этого решения следует, как и выше, из теорем теории потенциала. Для выполнения вычисления сделаем подстановку:

которая связана с тем, что отрицательно и вещественно на контуре полюсов. Отсюда

следовательно, получается эллиптический интеграл с модулем Четырем углам контура в плоскости соответствуют четыре значения и соответственные четыре значения (порядок значений соответствует рис. 75).

Поэтому из заданных размеров полюсов получаются для постоянных два следующие условия:

При этом последний интеграл следует брать по комплексному пути, обходящему вокруг точки

Интеграл в формуле (21) можно разложить следующим образом:

иричем мы обозначили через После подстановки последний из этих трех интегралов переходит в

Таким образом, мы свели интеграл (21) к полным эллиптическим интегралам первого и второго рода с модулем k. Положим

Мы получим тогда вместо (21):

Аналогично этому положим:

и с помощью такого же преобразования получаем из (21):

Деля (22) на (22), получаем, наконец:

Здесь представляют собой полные эллиптические интегралы первого рода с модулем есть интеграл второго рода с модулем , а можно выразить через полные интегралы первого и второго рода, если привлечь еще полный интеграл второго рода соответствующий модулю Все эти интегралы как функции к известны и табулированы. Поэтому с помощью (23) можно вычислить модуль к из а потом постоянную А с помощью (22) или