2. Вычисление выражения энергии.
Энергия каждой механической системы может быть, согласно гл. II, § 2, 6, представлена как функция
постоянных, от которых зависят траектории. Однако, если
постоянных являются значениями инволюционной системы
интегралов, то, согласно гл. II, § 4, (40), энергия может быть представлена только через эти
постоянных. Такие
постоянных представляют собой также переменные действия
соответствующие
системе, в функции от которых может быть представлена энергия, согласно гл. II, § 5, (37). Назовем это представление кратко выражением энергии. Изложенный в 1 метод был выработан Борном и Паули (согласно с идеей Н. Бора и Крамерса),для вычисления выражения энергии возмущенной системы. Первый член в разложении
получается согласно (5) простой подстановкой величин
вместо
в энергию
невозмущенного движения. Если подставить в (6) для
его выражение § 1, (15) и принять в расчет, что
в силу своих свойств периодичности, также должны иметь вид
и поэтому производные от
по
могут содержать только члены, периодические относительно
то можно очень просто проинтегрировать
по всем
от 0 до
и разделить на
При этом мы получим:
так как интегралы по периодическим членам обращаются в нуль. Следовательно, в первом приближении выражение энергии возмущенного движения можно получить без всякого интегрирования в форме:
К энергии невозмущенного движения прибавляется непериодический (вековой) член возмущающей функции. Вставляя
согласно (8) в (6), мы получим отсюда на основании § 1, (15):
При этом
Очевидно, что линейное дифференциальное уравнение в частных производных (10) имеет решение:
Если мы подставим это значение в (7) и опять вычислим для всех
среднее значение за период
, то при этом пропадут все члены, зависящие от усреднения по периодическим, членам (т. е. те, которые линейны относительно производных от
и остается:
При этом черта сверху означает усреднение в прежнем смысле. Его результатом являются опять непериодические члены. Действительно, хотя производные от
и
сами периодичны относительно
все же при умножении и разложении в тригонометрические ряды могут получиться непериодические члены, как например:
Характерное преимущество метода Борна и Паули заключается в том, что для вычисления
величину
вообще не нужно вычислять, для вычисления
нужно вычислить только
Очевидно, вычисление может быть продолжено дальше и дает выражение энергии с любой точностью. Способ неприменим только в том случае, когда невозмущенная система вырождена, потому что тогда между ее частотами
имеют место соотношения вида:
благодаря которым некоторые знаменатели разложений (11) могут обратиться в пуль.