2. Вычисление выражения энергии.
Энергия каждой механической системы может быть, согласно гл. II, § 2, 6, представлена как функция 
постоянных, от которых зависят траектории. Однако, если 
постоянных являются значениями инволюционной системы 
интегралов, то, согласно гл. II, § 4, (40), энергия может быть представлена только через эти 
постоянных. Такие 
постоянных представляют собой также переменные действия 
соответствующие 
системе, в функции от которых может быть представлена энергия, согласно гл. II, § 5, (37). Назовем это представление кратко выражением энергии. Изложенный в 1 метод был выработан Борном и Паули (согласно с идеей Н. Бора и Крамерса),для вычисления выражения энергии возмущенной системы. Первый член в разложении 
получается согласно (5) простой подстановкой величин 
вместо 
в энергию 
невозмущенного движения. Если подставить в (6) для 
его выражение § 1, (15) и принять в расчет, что 
в силу своих свойств периодичности, также должны иметь вид 
и поэтому производные от 
по 
могут содержать только члены, периодические относительно 
то можно очень просто проинтегрировать 
по всем 
от 0 до 
и разделить на 
При этом мы получим:
так как интегралы по периодическим членам обращаются в нуль. Следовательно, в первом приближении выражение энергии возмущенного движения можно получить без всякого интегрирования в форме:
К энергии невозмущенного движения прибавляется непериодический (вековой) член возмущающей функции. Вставляя 
согласно (8) в (6), мы получим отсюда на основании § 1, (15):
При этом 
Очевидно, что линейное дифференциальное уравнение в частных производных (10) имеет решение:
Если мы подставим это значение в (7) и опять вычислим для всех 
среднее значение за период 
, то при этом пропадут все члены, зависящие от усреднения по периодическим, членам (т. е. те, которые линейны относительно производных от 
и остается:
При этом черта сверху означает усреднение в прежнем смысле. Его результатом являются опять непериодические члены. Действительно, хотя производные от 
и 
сами периодичны относительно 
все же при умножении и разложении в тригонометрические ряды могут получиться непериодические члены, как например: 
Характерное преимущество метода Борна и Паули заключается в том, что для вычисления 
величину 
вообще не нужно вычислять, для вычисления 
нужно вычислить только 
Очевидно, вычисление может быть продолжено дальше и дает выражение энергии с любой точностью. Способ неприменим только в том случае, когда невозмущенная система вырождена, потому что тогда между ее частотами 
имеют место соотношения вида: 
благодаря которым некоторые знаменатели разложений (11) могут обратиться в пуль.
