ГЛАВА VIII. ЗАДАЧИ НА УПРУГОЕ РАВНОВЕСИЕ

§ 1. Элементарные решения с лннейныи распределением напряжений

Если мы будем искать деформации, при которых напряжения распределяются линейно, то дифференциальные уравнения для, напряжений [стр. 252, уравнения (8)] удовлетворяются сами собой, и напряжения должны удовлетворять еще только условиям равновесия (5) предыдущей страницы. Простейшим примером является:

1. Нагрузка равномерно распределенным нормальным давлением.

Пусть на поверхность упругого тела действует равномерное давление на единицу поверхностй в направлении нормали к этой поверхности. Тогда компоненты сил, действующих на единицу площади поверхности по направлениям координатных осей, равны

и мы легко удостоверяемся, что решение

удовлетворяет как нашим дифференциальным уравнениям, так и граничным условиям (6) предыдущей страницы. Соответствующие компоненты деформации равны

Это означает, что все элементы длины уменьшаются в одном и том же отношении и нет никакого изменения углов. Деформация есть просто подобное самому себе уменьшение размеров тела. Найдем, в частности, относительное уменьшение объема тела. Выберем в качестве единицы объема куб с длиною ребра, равной единице; ребро куба после деформации имеет длину Объем куба после деформации, если пренебречь величинами, содержащими равен

Вычитая отсюда первоначальный объем, мы получим чуменьшение единицы объема