3. Симметричный волчок. Самое общее движение.

При общем интегрировании уравнений движения Лагранжа мы пользуемся методом, изложенным в гл. III, § 1, 1, так как имеются две скрытые координаты Согласно (9):

Образуем теперь из (9) и (12) по гл. I, § 2, (55) функцию В Рауза

Решая (12) относительно и подставляя в (13), мы получим:

Теперь можно согласно гл. III, § 1, (2) для единственной наличной координаты составить одно дифференциальное уравнение, содержащее только ее:

Если мы помножим обе части на и проинтегрируем, то получим:

где произвольная постоянная. Если мы вставим для V его значение из (14) и (16) и введем вместо переменную то из (16) получится:

Это опять уравнение вида гл. II, § 3 (14). Чтобы изучить решение, мы должны исследовать нули функции стоящей в правой части (17). Если мы направим ось таким образом, чтобы центр тяжести лежал на ее отрицательной половине, то можно сразу установить знак при определенных значениях аргумента. Из (17) следует:

Вследствие непрерывности из трех нулей уравнения третьей степени по крайней мере один должен быть вещественным и отрицательным; обозначим его — 8. Так как действительное движение возможно только из такого начального состояния, для которого положительно, то, если есть начальное значение

Но из (18) и (19) следует, что два вещественные корня должны лежать между — следовательно:

Поэтому уравнение (17) может быть написано так:

Если то оно может совпадать с если оно отличается также и от то простые корни В таком случае, на основании гл. II, § 3, колеблется все время периодически между значениями а зпачит также колеблется между значепиями т. е. ось тела все время качается в промежутке между поверхностями двух конусов с вертикальной осью, причем через равные промежутки времени она касается конусов с углами при вершине Если ввести теперь вспомогательную переменную посредством соотношения:

то аналогично § 2, (10), (14), (19) мы получим, принимая во внимание, что вместо величин здесь входят :

Решая относительно и вставляя в (22), мы получим, применяя функцию sinus amplitudinis:

если, как и ранее, положить Решая уравнения (12) относительно , мы получим:

Если ввести здесь, согласно (24), как функции от то после интегрирования мы получим как функции от времени и шести постоянных интегрирования где значения и в момент получающиеся при интегрировании (25). Уравнения (24), (25) дают самое общее решение уравнений движения. Согласно этим решениям, получаются как периодические функции времени с периодом Т:

где вторая форма интеграла получается из первой с помощью подстановки (22). Поэтому, если возрастает на то принимает свое прежнее значение, тогда как как и в § 2, увеличиваются на определенные постоянные. Следовательно, движение состоит из вращения около тела с угловой скоростью , прецессии оси тела, которая однако не является регулярной, так как ось тела не описывает поверхность кругового конуса, а колеблется в течение прецессии между поверхностями двух конусов, и из третьей составляющей, а именно этих колебаний или нутации оси тела. Когда мы имеем случай регулярной прецессии. Когда же но оба угла отличаются друг от друга очень мало, то практически движение не отличается от регулярной прецессии. Только при точном рассмотрении мы заметим маленькое "нутационное движение", периодические колебания оси тела, накладывающиеся на движение процессии. Это движение называется псевдорегулярной прецессией. Его можно рассматривать в смысле гл. III, § 3, как малое колебание около квазистатического движения.

Можно наконец показать, что как раз наиболее обычные начальные условия при опытах с волчками приводят к таким псевдорегулярным прецессиям. Действительно, если вначале сообщить волчку только вращение около его оси с угловой скоростью и предоставить его затем самому себе, то начальные условия имеют вид: Тогда для постоянных интегрирования и из уравнений (12), (14), (16) получаются значения:

При этом мы получим из (17):

Из двух корней лежащих между один есть очевидно само Второй близок к если второй член в квадратных скобках имеет преобладающее значение по сравнению с первым, т. е. если живая сила вращения волчка велика но сравнению с потенциальной энергией Если, следовательно, сообщить волчку быстрое вращение около его оси и, наклонив ее на угол по

отношению к вертикала, предоставить самой себе, то ось волчка, рассматриваемая сверху, будет описывать боковую поверхность конуса с углом в действительности же она совершает малые колебания — нутацию между конусом с углом и очень близким конусом с несколько большим углом.

Если в (21) будет двойной корень, то, на основании II, § 3, 3, движение уже не является периодическим, но мы здесь не будем заниматься подробно.