приближении представляется формулой § 3, (20), где 
вычисляется из второго выражения для 
в § 3, (20), в котором 
можпо рассматривать как гамильтонову функцию механической задачи и ввести соответствующие переменные 
Если мы обозначим через 
численное значение В, определяемое значениями 
при невозмущенном движении и остающееся постоянным в течение всего векового возмущения, то дифференциальное уравнение в частных производных Гампльтона-Якоби
может быть решено методом разделения переменных, так как в него входит одна единственная координата положения 
Согласно гл. II, § 5, 1 и 3, уравнение (6) можно решить относительно 
. При этом мы получим:
если мы напишем ту ветвь функции, которая при 
обращается в нуль. Определим при этом, соответственно § 3 (14), (15), касательное преобразование с характеристической функцией 
При этом нужно принять во внимание, что мы найдем 
как функцию от 
согласно гл. II, § 5, (36), подставляя там вместо 
вели чипы 
тогда как 
будут входить теперь только в комбинации 
Таким образом, мы получим:
Из первого уравнения следует 
Если вставить это во второе уравнение и решить его относительно 
то мы получим 
как функцию от 
следовательно искомую функцию 
Явное вычисление В удается только в том случае, когда и мало по сравнению с 
Тогда, согласно (6), 
также мало по сравнению с 
и мы можем разложить подинтегральную функцию в (9) по степеням этих малых величин. Тогда мы получим:
где контурные интегралы преобразованы в обычные интегралы. На основании легко получающейся формулы
и той, которая получается из нее дифференцированием по а, мы получим из (10):
Если обозначить через 
приближенное значение 
которое мы получим, если, оставив в (9) справа 
членов, решим относительно 
и удержим члены,
до 
степени относительно 
то второе приближение 
которым мы удовлетворимся при вычислении 
имеет вид:
Так как, согласно § 3 (20) и (15), нужно просто подставить в (10)
чтобы получить окончательную формулу, то мы получим выражение энергии, обозначая опять через 
и (без штриха) соответствующие переменные действия:
Если мы желаем вычислить интеграл по контуру в (9), ничего не отбрасывая, то необходимо принять во внимание следующее. Если квадратный корень в (7) имеет вещественное значение для всех значений 
(между 
то и принимает опять свое первоначальное значение, когда 
увеличивается на 
следовательно, интеграл по контуру в (9), также как и в (10), надо вычислять по 
от 
до 
Очевидно, этот случай (случай "периодичности", так как и при этом есть периодическая функция от 
) имеет место только тогда, когда подкоренная функция в (7) неотрицательна даже при 
Это имеет место, например, во всех тех случаях, когда 
очень мало, как в случае (10). Если, наоборот, 
больше, чем требует неравенство (15), то для 
получается определенное предельное значение, дальше которого оно не может увеличиваться, так как и перестает быть вещественным. Это предельное значение определяется формулой:
Из (16) для 
получаются два значения: 
между которыми 
должно изменяться для того, чтобы и оставалось вещественным. Интеграл по контуру в (9) необходимо брать между обоими нулями подкоренной функции, причем в одном направлении с положительным корнем, а в другом — отрицательным.
Поэтому (9) может быть написано:
Здесь мы имеем случай качания или "либрации". Из 
вытекает, что выбор 
может влиять на периодичность или либрацию.
и введем опять в 
переменные 
В таком случае выражение энергии в первом
