§ 3. Колебания мембраны

1. Дифференциальное уравнение колебаний мембраны.

Мембраной называется упругое тело, имеющее вид тонкой перепонки, не сопротивляющееся ивгибу, но сопротивляющееся растяжению.

Пусть данная мембрана натянута на данный неподвижный контур (границы мембраны), причем вдоль этого контура на мембрану действует повсюду одина-, новая сила натяжения кг/см. Контур, ограничивающий мембрану, мы будем считать плоским. В положении равновесия мембрана находится в плоскости контура, которую мы выберем за плоскость В этом положении равновесия мембрана повсюду находится в одном и том же напряженном состоянии, т. е. вдоль любого сечения, мысленно проведенного в плоскости через мембрану, действует растягивающая сила со стороны одного края сечения на другой. Если вывести мембрану из положения равновесия, оставляя ее границу закрепленной, то она начнет совершать некоторые колебания. Отклонения от положения равновесия мы будем считать малыми, а именно такими, что можно так же, как и раньше, пренебрегать произведениями двух смещений или их производных но сравнению с линейными величннами.

Мы примем также, что изменения напряжения малы по сравнению с начальным напряжением и что ими можно пренебречь. Будем считать, что на поверхность мембраны не действуют никакие вйешние силы. Смещения точки мембраны из положения равновесия мы обозначим черев и будем рассматривать здесь только последнее. Через мы обозначим направление нормали к поверхности мембраны в каждый данный момент времени. При этих обозначениях направляющие Косинусы нормали, согласно известным формулам аналитической геометрии, будут

Ограничиваясь малыми деформациями, будем иметь

Допустим, что напряжения , распределены равномерво по толщине мембраны. Напишем теперь уравнения равновесия для элемента свободной поверхности мембраны [гл. VII, стр. 252, (6)], принимая во внимание, что компоненты напряжений должны быть малы и что для имеем,, с точностью до малых величин

где есть толщина мембраны. Пренебрегая квадратами и произведениями малых величин, получаем

откуда

Подставляя эти значения в 3-е уравнение равновесия, в которое включены силы инерции [гл. VII, стр. 249, (12)]:

получаем дифференциальное уравнение движения мембраны

Здесь, есть масса единицы объема материала мембраны; следовательно

есть масса, приходящаяся на единицу поверхности. Вводя сокращения

получаем дифференциальное уравнение в виде:

К этому уравнению следует еще добавить начальное и граничные условия. На границе мембрана должна быть закреплена, т. е. вдоль граничного контура

В начале движения заданы начальное положение и начальные скорости мембраны, т. е.

Так же, как и в случае колебаний струны, мы заметим сначала, вследствие однородности дифференциального уравнения и граничных условий ряд составленный из каких-либо нескольких частных решений (удовлетворяющих граничному условию) с постоянными коэффициентами также удовлетворяет граничным условиям и дифференциальному уравнению. Не обращая сперва внимания на начальные условия, будем искать периодические частные решения вида

Из таких решений мы потом составим ряд указанного выше вида и подберем коэффициенты так, чтобы удовлетворялись и начальные условия. Подставляя выражение (8) в дифференциальное уравнение (5), мы получаем для функции которая является амплитудой гармонического колебания в данной точке, дифференциальное уравнение:

или вводя сокращение

Мы увидим ниже, что так же, как и в случае струны, мембрана может совершать периодические колебания только с некоторыми определенными частотами т. е., что дифференциальное уравнение может иметь решения, обращающиеся в нуль на границе и отличные от нуля внутри, только при некоторых вполне определенных значениях которые мы будем называть "характеристическими числами нашей граничной задачи".

Таким образом, перед нами будет стоять задача нахождения этих "характеристических чисел" и соответствующих им "фундаментальных функций" Мы начнем с рассмотрения некоторых частных случаев.