9. Основные свойства наложения общих комплексных решений.

Разобранные нами примеры позволяют легко подметить основные свойства наложения комплексных решений общего вида. Мы не имеем здесь места подробно останавливаться на доказательстве всех этих свойств, отсылая читателя к специальной литературе по «цому вопросу, указанной в конце главы, и дадим лишь формулировку этих основных свойств.

Рассмотрим лишь такие задачи, в которых накладываемые решения имеют лесколько специальный характер.

Пусть мы имеем дело, например, с продольной волной, в которой составляющие вектора смещения выражаются через комплексную переменную по формулам:

где переменная определяется из уравнения:

Мы изучим порознь области, соответствующие верхней и нижней полуплоскости

Рассмотрим некоторую часть пространства где Пусть эта рассматриваемая часть при любом положительном распадается на две области: область где уравнение (79) имеет существенно комплексные корни или вещественные корни, по модулю большие, чем и область где корни (79) — вещественные числа, лежащие в промежутке:

Мы допустим, что область отделяется от области контуром С, обращенным вогнутостью в сторону положительных и двигающимся при возрастании

в направлении отрицательных Допустим кроме того, что этот контур симметричен относительно оси , то есть уравнение его имеет вид:

(рис. 54). В разобранных выше примерах этот контур был просто дугою окружности.

Мы будем считать равными нулю при значениях , меньших, чем то есть в точках, лежащих ниже, чем касательная, отвечающая значению (Эта касательная, очевидно, целиком будет лежать в

В остальной части области мы будем выбирать для тот корень, который сохраняет постоянное значение на отрезках, касательных к контуру С, заключенных между точкой касания и линией

Для того чтобы добиться непрерывности мы потребуем кроме того, чтобы функции при обращались в нуль.

Рис. 54.

Решения, удовлетворяющие поставленным требованиям, мы будем называть комплексными реше ииями, идущими в направлении отрицательных з.

Понятие это, конечно, вовсе не обязательно подразумевает, что волна должна быть продельной. Под волной, падающей в направлении отрицательных мы будем понимать такую волну, продольную или поперечную, в которой какие-либо элементы смещения выражаются через комплексную переменную и в котором области вещественности и комплексности выбраны указанным выше образом.

Совершенно аналогично можно ввести понятие о волне, идущей в направлении положительных з. Это определение после разобранных примеров понятно само собой. Обобщая это понятие, мы можем называть комплексными волнами, идущими в направлении положительных или отрицательных и такие волны, в которых не смещения, а потенциалы являются функциями комплексной переменной.

Нашей задачей является формулировка основных свойств наложения решений, падающих в направлении положительных или отрицательных . Укажем эти свойства.

Свойство Решения, полученные наложением волн, падающих в направлении положительных или отрицательных , представляют собой правильные разрывные решения уравнений теории упругости. Поверхностями разрыва первых производных могут служить либо поверхность, получаемая вращением контура С, уравнение которой имеет вид:

либо конические поверхности, полученные вращением отрезков касательных вдоль которых сохраняет постоянное значение.

Второе свойство, которое также играет весьма важную роль, относится к решениям, зависимость которых от параметра X носит несколько специальный характер.

Мы назовем решение, зависящее от параметра X, простейшим, если кроме косвенной зависимости от X через координаты оно зависит еще явно только благодаря наличию множителя или в выражении

Все рассмотренные нами примеры как раз содержат наложение простейших решений. Основное свойство простейших решений заключается в следующем.

Свойство Пусть в рассматриваемом нами простейшем решении:

где некоторая комплексная переменная, соответствующая продольной или поперечной волне. Функция при имеет корень кратности а функция или корень кратности Пусть кроме того мнимые части функций обращаются в нуль на некотором отрезке который соответствует касательным к контуру С, точка касания которых расположена на дуге (рис. 54) симметрично относительно оси. При этом функции, порученные наложением волн (81) или (82), будут обращаться в нуль во всей области, полученной от вращения полукасательных с точкой касания, лежащей на дуге , то есть во всей внешности поверхности, образованной вращением контура состоящего из касательных и и дуги . Таким образом, результат наложения отличен от нуля в той области переменных , которая получается вращением области где или отличны от нуля.

Мы сформулировали свойство для верхней полуплоскости комплексной переменной 0, но не представляет никакого труда убедиться в том, что оно остается справедливым и для нижней полуплоскости, только рис. 54 будет необходимо перевернуть. Свойство сформулированное нами для случая комплексных смещений, остается справедливым и для комплексных потенциалов. Мы не останавливаемся на нем подробно, так как формулировка его очевидна.

Доказывать это свойство мы не можем за неимением места. Первое и второе свойства наложения комплексных решений играют большую роль в теории отражения, к изложению которой мы и приступаем.