5. Интегральное уравнение колебания мембраны.

Подставим в формулу (49) вместо функцию Грина для логарифмического потенциала, т. е. потенциальную функцию , которая в точке обращается логарифмически в бесконечность 2), а на границе заданной области равна нулю. Полагая в где решение уравнения обращающееся в нуль на границе данной области, получим

Контурный интеграл в правой части опять-таки распространен по границе данной области и вдоль окружности бесконечно малого радиуса, описанной вокруг сингулярной точки Так как на границе данной области функции и обращаются в нуль, остается только контурный интеграл по бесконечно малой окружности. Последний, однако, по формуле (51) равен Заменяя еще на мы получаем

Это есть линейное однородное интегральное уравнение для фундаментальных функций Ядро его симметрично, ибо, как известно

Характеристические числа, следовательно, все вещественны. То, что они также положительны, доказывается умножением обеих частей дифференциального уравнения на и интегрированием по всей области, занимаемой мембраной; это дает

Но по формуле (47), если положить получаем:

Интеграл по контуру обращается в нуль, так как функция равна нулю на контуре. Отсюда

и

следовательно, заведомо положительно.

Применяя теорию интегральных уравнений, можно доказать следующую теорему:

Существует бесчисленное множество характеристических чисел, при которых наше интегральное уравнение имеет решения и, следовательно, исходное дифференциальное уравнение имеет решения, обращающиеся в нудь на границе (фундаментальные функции).

Обозначим характеристические числа и фундаментальные функции через и Последние определяются с точностью до постоянного множителя, который мы выберем так, чтобы

Две фундаментальные функции, принадлежащие к различным характеристическим числам, ортогональны друг к другу, т. е.

Если к некоторому характеристическому числу принадлежит несколько фундаментальных функций, то любая линейная комбинация последних есть также решение дифференциального уравнения при том же самом значении характеристического числа. Соответствующим выбором коэффициентов с мы можем удовлетворить условиям ортогональности (65) и нормальности (64) также и в этом случае.

В общем случае движение мембраны слагается из отдельных колебаний, соответствующих различным характеристическим числам:

Коффициенты определяются из начальных условий помощи условий ортогональности (65) и нормальности (64). Пусть, например, при мембрана находилась в заданном положении

и мы отпустили ее без всякой начальной скорости. Тогда все коэффициенты В должны обратиться в нуль, и кроме того должно быть

Умножая правую и левую части равенства (67) на и интегруруя по всей области, мы получаем

Аналогичным образом определяются коэффициенты В по заданным начальным скоростям.

Ряд сходится равномерно и абсолютно, если начальное положение мембраны может быть представлено в виде

где функция, квадрат которой интегрируем. Физически это обозначает, что мембрана была приведена в начальное состояние нагрузкой