4. Положения равновесия как особые точки.

Если составляющие силы в уравнении (1) зависят только от координат то мы говорим о силовом поле. Такие точки силового поля, в которых материальная точка может длительно находиться в покое, называются положениями равновесия. Из (1) или (2), в силу следует, что в положениях равновесия должны удовлетворяться условия:

Движение вблизи положений равновесия мы исследуем только для систем с одной степенью свободы. Предположим, что материальная точка может перемещаться

только по прямой, вдоль которой мы и направим ось . Тогда уравнения движения (2) сводятся к первым двум, из которых получим делением:

Это дифференциальное уравнение первого порядка, которое, как известно, дает возможность вблизи каждой регулярной точки определить х как функцию х, причем в самой рассматриваемой точке может быть произвольно задано начальное направление кривой в плоскости т. е. в "плоскости состояния". Так как состояние равновесия Представляет собой состояние покоя и согласно (32) выражается точкой, в которой то правая часть уравнения (33) принимает для этих значении неопределенное значение — и является особенной точкой дифференциального уравнения (33), в которой теорема существования теряет силу. Поэтому здесь приходится обратиться к теоремам, относящимся к поведению решения вблизи особенной точки.

В тех случаях, когда функция удовлетворяет некоторым условиям, в силу теоремы существования и единственности, через данную точку проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения

Точки плоскости, для которых упомянутые условия не выполнены, называются особенными точками уравнения (1. Если представляется как частное от деления двух полиномов и переменных и в точке одновременно обращаются в нуль оба полинома, то точка будет особенной и поведение интегральной кривой вблизи этой точки требует особого исследования. Можно показать (теорема Пуанкаре), что при качественном изучении решения уравнения

вблизи особенной точки , за некоторыми исключениями, поведение интегральных кривых определяется членами первого измерения. Поэтому мы получим характеристику и классификацию особенных точек этого уравнения, явучая так называемое однородное уравнение, т. е. уравнение вида

Мы будем предполагать вещественными и такими, что

Положим, что уравнение допускает прямолинейную интегральную кривую тогда к должно удовлетворять квадратному уравнению

Относительно корней этого уравнения можно сделать следующие предположения:

1) корня вещественные различные,

2) корни вещественные равные,

3) корни мнимые сопряженные.

1. Имеем две различные вещественные интегральные прямые. Преобразуем уравнение, взяв эти пряные за новые координатные оси (вообще говоря, косоугольные). Преобразование достигается линейной подстановкой вида

Уравнение преобразуется к форме

с интегралом

Надо различать три частных предположения:

a) . Все интегральные кривые проходят через начало координат, которое является узлом. При кривые в начале координат касаются оси , при оси Сами оси являются тоже интегральными кривыми.

b) А = 0. Система параллельных прямых.

c) . Гиперболовидные кривые с двумя асимптотами (осями координат), являющимися тоже интегральными кривыми. Это случай седла.

2. Имеем двукратный вещественный корень. Преобразованием вида (5 можно достигнуть того, что двукратная интегральная прямая станет осью ординат. Уравнение примет вид

Так как преобразование не могло изменить характера интегральных кривых, то соответствующее полученному уравнению уравнение , имеющее теперь вид

не должно ни иметь корней, ни тождественно удовлетворяться. Следовательно, мы приходим к уравнению

или, полагая к уравнению

с интегралом

Все интегральные кривые проходят черев начало координат и касаются в этой точке оси мы опять имеем узел.

3. Два мнимых сопряженных корня и, следовательно, две мнимые сопряженные интегральные прямые. Преобразованием вида (5 достигаем того, что две интегральные кривые будут

дифференциальное уравнение примет вид

и в зависимости от того или будет иметь интеграл

(9) соответствует вихревой особенной точке или центру, фокусу (Strudelpunkt).

Более подробное изложение можно найти в курсе высшей математики В. И. Смирнова, т. II, стр. 143, 71 и 72 (изд. 1926 г.).

В силу этих теорем вопрос решается лилейными членами разложений в ряды числителя и знаменателя правой части уравнения (33). Так как то при положении равновесия разложение X будет: следовательно, после отбрасывания членов высших порядков уравнение (33) примет вид

Это соответствует уравнению , если в нем положить Характеристическое уравнение принимает теперь вид При положительном а оно имеет два вещественных корня, следовательно, "состояние равновесия" является седлом для интегральных кривых уравнения (34); при отрицательном а корни характеристического уравнения мнимые сопряженные, и мы имеем вихревую особенную точку. По теореме Пуанкаре отсюда следует, что для полного уравнения (33) в случае точка является седлом, тогда как в случае она может быть также и фокусом (Strudelpunkt). Однако, можно непосредственно показать, что точка является также и здесь вихревой точкой уравнения (33). Интеграл энергии (31) имеет в этом случае простой вид В силу соотяошения можем написать т. е. при малых значениях интегральные кривые имеют форму кривых следовательно при это — эллипсы, окружающие точку которая поэтому является в этом случае вихревой точкой решения. В случае седловой точки через состояние равновесия проходят две вещественные "кривые состояний", они представляют движения, приближающиеся асимптотически с исчезающей скоростью к положению равновесия, которое, следовательно, в этом случае является "неустойчивым". Что касается вихревой точки, то ее не достигает ни одна из интегральных кривых. В этом случае материальная точка никогда не может приблизиться сколь угодно к состоянию равновесия, эллипсообразные кривые состояний выражают колебания около состояния равновесия которое в случае является "устойчивым".