11. Волны Рэлея.
Для того чтобы закончить физическое исследование нашей задачи, мы разберем подробно явление так называемых волн Рэлея для вынужденных колебаний полупространства, которое представляет большой интерес с точки зрения теоретической сейсмологии.
Рассмотрим опять, как в задаче Лэмба, упругое пространство, в котором в начальный момент времени 
царит покой.
Пусть в некотором ограниченном объеме 
трехмерного пространства 
действуют но какому-нибудь закону массовые силы 
Путем рассуждений, аналогичных тем, которые были уже однажды проведены в том пункте, где мы исследовали точечные источники, можно установить в этом случае формулы, аналогичные (73) для составляющих смещения:
Исследуем значения этих смещений при больших 
если 
где 
некоторая постоянная, а 
ограничены.
Для этого заметим прежде всего, что производная от 
по координате 
может быть выражена в виде:
Аналогично выражаются все производные от 
по 
или 
При исследовании волн Рэлея от точечных источников, мы установили, что при этом предположении стремится к 
а выражение 
при этом предположении стремится к нулю. Отсюда вытекает, что если все 
ограничены, то подинтегральная функция в формулах (95) стремится к нулю и, следовательно, для таких точек в такие моменты времени смещение будет также стремиться к нулю.
Из выражений для 
вытекает, что этот случай всегда будет иметь, место, если только 
не равно с, где с рэлеевская скорость.
В этом последнем случае 
растут неограниченно при стремлении 
к бесконечности. Выясним асимптотический характер 
для больших 
С этой целью разложим их в ряды по степеням 
и ограничимся свободными членами этих разложений. После несложных выкладок, почти буквально совпадающих с теми, которые уже были нами однажды произведены мы получим окончательный результат [см. формулы (96) на стр. 560 и 561].
Таким образом мы видим, что в этом случае движение не будет стремиться к покою, а будет по мере увеличения 
приближаться к некоторому стационарному движению. 
Из формул (96) мы видим, что стационарное движение представляет собою волну Рэлея, рассмотренную нами в § 1.
Мы ограничились разбором того Случая, когда движение является так называемым вынужденным, взяв 
качестве начальных условий покой.
Совершенно такой же анализ мы могли бы произвести для движения определяемого произвольными начальными условиями.
Предположив опять, что начальные условия отличны от нуля только в некоторой ограниченной области двухмерного пространства х, у, мы убедились бы, что при больших 
таких, что величины 
ограничены,, смещения будут стремиться к нулю при всех 
кроме 
Выделяя опять главное слагаемое, мы получили бы волну Рэлея. Произведенный нами анализ объясняет, таким образом, появление волн Рэлея: при всяком землетрясении.
