2. Обобщенные решения волнового уравнения.

Рассмотрим некоторую область В в пространстве трех измерений ограниченную поверхностью состоящей из кусков, имеющих непрерывно меняющуюся касательную плоскость.

Построим функцию обладающую следующими двумя свойствами.

1) Функция определена и непрерывна со своими первыми и вторыми производными во всей области В, вплоть до контура.

2) Как сама функция, так и все ее первые производные обращаются в нуль на поверхности

Пусть теперь и некоторое непрерывное решение волнового уравнения, имеющее непрерывные первые и вторые производные во всей области В вплоть до контура.

Применив к известную формулу Грина, мы будем иметь:

где черев обозначена операция:

а через n обозначено направление внутренней нормали к поверхности В силу условий, наложенных на как так и на поверхности уничтожаются, и левая часть нашего равенства обращается в нуль. Принимая во взимание уравнение (1), получим окончательно:

Очевидно, что класс функций и, удовлетворяющих условию (3) во всяком объеме при произвольной функции подчиненной лишь требованиям 1) и 2), содержит в себе класс непрерывных решений волнового уравнения. Однако, условие (3) может оказаться более широким, так как оно, например, вовсе не требует ограниченности и. Мы легко убедимся далее, что класс функций, удовлетворяющих условию (3), шире, чем класс решений волнового уравнения, в обычном смысле этого слова.

Мы будем называть обобщенным решением волнового уравнения (1) всякую функцию от удовлетворяющую условиям:

а) Функция и суммируема в смысле Лебега в любой ограниченной области пространства

б) Для любой области В и функции удовлетворяющих поставленным выше условиям, и удовлетворяет уравнению (3).