7. Теплопроводность в шаре.

Рассмотрим теперь общую задачу для шара. Введем полярные координаты тогда дифференциальное уравнение (13) § 1 переходит в

Ищем частное решение в виде:

где функция одного только — функция одного функция только . Подставляя это в (32), получаем:

Предположим, что X — шаровая функция порядка и, следовательно, удовлетворяет дифференциальному уравнению

Из (34) и (35) получаем

В этом дифференциальном уравнении слева стоит функция только справа — функция только Следовательно, обе стороны должны быть равны одной и той же постоянной, которую обозначим через Отсюда следует:

и

Уравнение (37) имеет известное решение:

откуда следует, что должно быть Положив в получим дифференциальное уравнение:

Положив здесь, наконец,

получим для 8 дифференциальное уравнение:

Ото уравнение есть один из видов дифференциального уравнепия для бесселевых функций с полуцелым индексом Так как В конечно для то должно быть

Решение (41) имеет, следовательно, вид Функция выражается в замкнутой форме через тригонометрические и рациопальные функции от х. Вставляя нолучепное выражение (которое, впрочем, нас далее не будет интересовать) в (40), получим функцию

Для как и для функции Бесселя с целым индексом, можно показать, что уравнение имеем бесконечное множество вещественных корней и не имеет ни мнимых ни комплексных корней. Назовем их тогда функция решение дифференциального уравнения (38), исчезающее при и конечное при Она удовлетворяет, следовательно, нашим граничным условиям и о них нам далее заботиться не надо.

Теперь можно указать общее решение нашей задачи, подставляя в наш частный иптеграл (33) выражение (39) вместо функцию вместо В и шаровую функцию порядка произвольными постоянными вместо Принимая во внимание все положительные корни, принадлежащие данному , и суммируя по всем получим для и общее выражение:

Чтобы теперь удовлетворить начальному условию, надо выбрать шаровые функции так, что при

Но для любого можно разложить функцию в ряд Лапласа по шаровым функциям

Постоянные в будут тогда еще функциями от Сравнивая (43) и (44), получим:

Это разложение функций по функциям аналогично подобному же разложению по обыкновенным функциям Бесселя. Коэффициенты легко определяются, если воспользоваться свойствами ортогональности.

Так как уже известны, то из (45) можно определить как функции после чего и определено однозначно, и наша задача решена полностью.