4. Решение в форме Даламбера.

Только что указанное решение было дано Даниилом Бернулли. Несколько раньше Даламбер дал несколько другое решение, которое мы теперь выведем не непосредственно, а из решения Бернулли.

Мы начнем с того, что расширим область в которой первоначально заданы заменив их разложениями (16) и (17) в ряды Фурье и определяя вне промежутка значениями этих рядов (которые сохраняют смысл для всех значений ж).

Тогда становятся нечетными периодическими функциями, с периодом 21:

С помощью известного тригонометрического преобразования мы можем написать решение в виде

Но мы имеем:

и, следовательно:

и

Далее:

и, следовательно:

Мы получаем, таким образом, новый вид нашего решения:

Непосредственной подстановкой легко убедиться, что это решение удовлетворяет дифференциальному уравнению движения, если только дифференцируема дважды, один раз; в остальном функции могут быть произвольными. Граничное условие при выполняется благодаря нечетности функций граничное условие для также выполняется в силу нечетности этих функций и в силу их периодичности. Покажем это; имеем:

так же точно

так что

и значит

Применение указанных соотношений позволяет вывести еще одно общее заключение. Заметим прежде всего еще, что для нечетной периодической функции

Мы можем, следовательно, к пределам интегрирования но желанию добавлять или вычитать 21.

Увеличим теперь на и положим:

Тогда

и, следовательно:

Мы заключаем отсюда, что, спустя промежуток времени в точке появляется смещение, равное по величине и противоположное по знаку тому смещению, которое имело место в точке х в момент Таким образом, отклонение точек струны через промежуток времени получится из отклонений, имевших место в начальный момент, зеркальным отражением справа налево относительно середины струны, сопровождающимся зеркальным отражением сверху вниз. Аналогичное имеет место для скоростей, как в этом можно непосредственно убедиться дифференцированием.