2. Потенциальная и кинетическая энергия.

Если к струне приложена нагрузка то последняя совершает при прогибе работу, переходящую в "потенциальную энергию деформации" струны. Если освободить струну от нагрузки, то эта энергия переходит в кинетическую энергию колебаний. Для ее вычисления положим, что нагрузка увеличилась на Прогиб струны при этом увеличивается на

и на это затрачивается работа

равная увеличению потенциальной энергии. Переставляя под внаком интеграла мы получаем

Складывая (18) и (19) и принимая во внимание, что получаем

Приращение потенциальной энергии равно, следовательно, приращению интеграла в правой части и значит

если потенциальную энергию ненагруженного состояния считать равной нулю. Если струна совершает собственное колебание

частоты то мы получаем прогиб в некоторый момент заменяя нагрузку силой инерции на единицу длины, т. е. полагая

Отсюда для потенциальной энергии деформации получаем

В это» интеграле мы можем выполнить интегрирование по Действительно, из интегрального уравнения (12) имеем

и, следовательно,

Кинетическая энергия колеблющейся струны равна

Выведем теперь некоторые следствия из формул для кинетической и потенциальной энергии. Прежде всего отсюда вытекает закон сохранения энергии. Сумма кинетической и потенциальной энергии

так что полная энергия не зависит от времени. Во-вторых, путем интегрирования по времени за полный период колебания мы получаем

т. е. для каждого собственного колебания средние по времени значения кинетической и потенциальной энергии равны между собой.

Если напишем среднее значение потенциальной энергии в виде

то из последней теоремы получим:

Отсюда заключаем, что характеристические числа интегрального уравнения не только вещественны, но и положительны. Действительно, правая часть, представляющая потенциальную энергию, всегда положительна. В левой части также положительная величина и, следовательно, должно быть также положительным. Наконец, из наших уравнений мы получаем механический смысл условий ортогональности (17), утверждающих, что для различных фундаментальных функций

Эти условия обозначают, что при наложении двух собственных колебаний складываются не только смещения, но и энергии.

Действительно, если имеются два колебания

то кинетические энергии отдельных колебаний равны

Если оба колебания происходят одновременно, то кинетическая энергия результирующего колебания есть

Вследствие условия ортогональности последний интеграл обращается в нуль» и поэтому

что и требовалось доказать. Таким же образом доказывается аддитивность потенциальной энергии.

Отсюда следует, что закон сохранения энергии остается справедливым и для любого движения, получающегося наложением собственных колебаний.