3. Связь с условиями совместности.

Обобщенные решения волнового уравнения можно представить себе, так же как и решения, удовлетворяющие кинематическим и динамическим условиями совместности, в виде предела последовательности непрерывных решений:

Стремление и к своему пределу достаточно предположить таким, чтобы для любого объема В:

этого обстоятельства, как доказывается в курсах анализа (см., например, Валле-Пуссен, Курс анализа бесконечно малых, в русском переводе), вытекает что

и так как

то наше утверждение доказано.

Отсюда мы можем ожидать, что всякое правильное разрывное решение, удовлетворяющее кинематическим и динамическим условиям совместности, будет в то же время обобщенным решением. Докажем это утверждение.

Рассмотрим объем В и допустим для простоты, что внутри него проходит одна поверхность разрыва которую мы назовем

Вырежем эту поверхность двумя близкими к ней параллельными поверхностями и и применим к оставшемуся объему формулу Грина. Так как в оставшемся объеме то мы получим:

В силу кинематических и динамических условий:

Так как, кроме того, Непрерывно с первыми производными, то

причем стремление к пределу имеет место равномерно.

Переходя в равенстве (6) к пределу, получим условие (3), что и требовалось доказать.

Кроме того факта, что наши обобщенные решения включают в себя правильные разрывные решения, как частный случай, существенным является еще одно обстоятельство.

Для них, как и для правильных разрывных решений, выполнение условий правильности разрывов, то есть кинематических условий совместности, влечет за собой выполнение динамических условий.

Покажем сначала, что в точках непрерывности вторых производных справедливо волновое уравнение. Допустим, что это не так. Тогда в некоторой малой сфере радиуса и сохраняет постоянный знак. Возьмем эту сферу за область В и введем функцию

где расстояние от центра сферы до переменной точки.

Формула Грина дает нам:

В правой части, при нашем предположении, стоит величина определенного знака, неравная нулю. Следовательно, левая часть также отлична от нуля, что противоречит предположению о том, что и обобщенное решение. Следовательно, , и первая часть нашего утверждения доказана.

Переходим к самим динамическим условиям.

Если и имеет правильные разрывы, то выражение

с обеих сторон поверхности разрыва - имеет определенный предел или стремится к бесконечности определенного знака в каждой точке по любому некасательному пути. Допустим. что этот предел неограничен в окрестности некоторой точки на поверхности. Построим вокруг этой точки сферу малого радиуса такую, чтобы для всех точек лежащих внутри этой сферы по одну ее сторону, предел был бесконечностью одного знака.

От части сферы, лежащей но ту сторону поверхности где этот предел отсечем поверхностью область, смежную с к оставшемуся объему применим формулу Грина, взяв в качестве функцию (7). Мы получим:

Величина, стоящая слева, ограничена. Справа также очевидно ограничено. Если стремится к бесконечности, то правая часть неограничена, и мы получаем противоречие.

Следовательно, имеет всегда конечный предел. Остается установить, что этот предел одинаковый с обеих сторон С этой целью опять проведем сферу малого радиуса вокруг точки внутри которой во всех точках скачок одного знака.

Применяя формулу Грина к функциям (7) для обеих частей этой сферы и складывая результаты, получим, благодаря непрерывности функций и :

Правая часть этого равенства не обращается в нудь, следовательно, и левая не равна нулю, и мы пришли к противоречию.

Следовательно, наше утверждение доказано полностью.