§ 4. Цилиндрические поля. Представление посредством функций комплексной переменной

1. Логарифмический потенциал, коаксиальные круговые цилиндры

Электростатические задачи для трехмерных областей, из коих некоторые были решены в предыдущих параграфах, в принципе можно решать посредством разложений в ряд, к которым самым общим обралом ведет теория потенциала и теория интегральных уравнений. Однако, лишь в немногих случаях современный анализ обладает специальными методамц, дающими возможность более детального изучения распределения поля. При таком положении дела весьма важно то обстоятельство, что эти задачи значительно облегчаются, если ограничиваться двухмерными областями, причем это упрощение для многих физических задач возможно без больших ошибок. Это имеет место в тех случаях, когда изучаемые тела в рассматриваемой области можно считать цилиндрами, которые в направлении простираются до бесконечности, причем поле в этом направлении изменяется мало. При этом необходимо отвлечься от действия концов цилиндра; вместо понятий трехмерной теории потенциала, при этом появляются понятия двухмерной теории.

Точечный заряд вызывает по § 1 в окружающем Пространстве радиально направленное кулоновское поле, равное

Представим себе теперь бесконечную прямую, например ось заряженную линейным зарядом, распределенным на ней с постоянной линейной плотностью так что есть заряд элемента длины каждый такой элемент создает поле, выражающееся формулой (1), причем для точки будем иметь:

Сложение этих полей дает плоское радпально направленное поле, перпендикулярное к оси причем на расстоянии от оси ноле равно

Потенциальная функция, соответствующая этому распределению поля, равна

она содержит произвольную постоянную которая определяется, если задан цилиндр, потенциал которого равен нулю; значение этой произвольной постоянной не может быть принято равным ни нулю, ни бесконечности.

Далее, в силу (3) § 1, потенциал объемного заряда, распределенного с плотностью удовлетворяет потенциальному уравнении:

В цилиндрическом случае заряд также можно считать распределенным в объеме, но его плотность должна быть независимой от координаты Плотность заряда на единицу длины в направлении и на единицу поверхности плоскости мы назовем поверхностной плотностью и обозначим через . Потенциал этой поверхностной плотности, если положиь получается из (3) посредством интегрирования по всей плоскости

и этот "логарифмический потенциал" поверхностной плотности удовлетворяет двухмерному потенциальному уравнению

Такой потенциал цилиндрически распределенного заряда, в противоположность ньютоновскому потенциалу, не может быть продолженным до бесконечности, так как там он убывает до Однако, если сумма зарядов (или, при непрерывном распределении, интеграл элементарных зарядов) обращается в нуль;

то бесконечные члены выпадают, и тогда можно написать

Эта функция на бесконечности, в силу (7), стремится к нулю как то время как ньютоновский потенциал, при исчезающей сумме зарядов, стремится к нулю как В приложениях имеет значение только этот случай.

Вследствие указанной особенности логарифмического потенциала вдесь нельзя уже говорить о емкости одной единственной заряженной проволоки, как мы это делали в случае сферы, причем под этой емкостью мы подразумевали емкость по отношению к бесконечно удаленным телам. Здесь приходится представлять себе проволоку окруженной коаксиальной цилиндрической проводящей поверхностью и определять емкость по отношению к этой поверхности. Пусть имеются два цилиндра с радиусами ось которых совпадает с осью Эти цилиндры заряжены и разность потенциалов между ними равна Потенциальная функция поля между цилиндрами имеет тогда, вообще говоря, вид:

с двумя постоянными Отсюда получается заданная разность потенциалов:

Множитель

называется взаимной емкостью, отнесенной к единице длины цилиндров. Плотность зарядов на поверхности цилиндров равна