§ 2. Свободное движение твердого тела

1. Общее интегрирование уравнений Эйлера.

Если мы предположим, что никаких внешних сил нет, так что то мы получим из § 1, (22):

а из § 1, (23) мы получи

Следовательно, система девяти совокупных дифференциальных уравнений § 1, (22), (23), (8), распадается на системы: трех совокупных дифференциальных уравнений (1) для трех уравнений для из которых сразу следует, что эти координаты центра инерции являются линейными функциями времени, и трех совокупных дифференциальных уравнений § 1, (8) для в которые нужно вставить вместо функции от времени, получающиеся при интегрировании (1). Уравнения (1) определяют движение твердого тела, свободно движущегося около своего центра инерции. Если же неподвижной является произвольная точка тела, то уравнения (1) имеют место также и для свободного движения тела около этой точки; только при этом нужно взять систему главных осей инерции проходящую через неподвижную точку, как начало (см. § 1,3).

Выведем сначала два - интеграла уравнений (1). Умножая их последовательно на и складывая, мы получим Если затем мы помножим уравнения (1) на и сложим, то получим аналогично:

Так как левые стороны обоих этих соотношений являются полными производными по времени, то, интегрируя, мы получим из них:

где суть две соответственным образом введенные постоянные интегрирс вания. Из § 1, (20) и (44) следует, что уравнения (2) выражают постоянстве абсолютной величины момента количества движения и кинетической энергии в таком случае представляют собой "характеристический" момент

инерции и "характеристическую" угловую скорость, которую тело должно было бы иметь для того, чтобы при вращении около главной оси инерции кинетическая энергия и момент количества движения совпадали с соответствующими величинами при действительном движении.

Если мы введем абсолютную величину мгновенной угловой скорости при помощи уравнения

то из (2) и (3) можно вычислить величины как функции от вставить затем в (1) и получить одно единственное дифференциальное уравнение для которое решается посредством квадратуры.

Если мы будем рассматривать (2) и (3) как три линейные уравнения относительно то их определителем является известное произведение разностей Оно наверно отлично от нуля, если все моменты инерции отличны друг от друга, что мы в дальнейшем будем предполагать. Пусть:

Решение дает в таком случае:

если мы обозначим через следующие выражения, зависящие от

Из (5) вытекает после умножения и извлечения корня:

С другой стороны, из уравнений (1) вытекает, если их помножить последовательно на и сложить,

Если применить соотношение

вытекающее из (3) после дифференцирования, то из (7) и (8) следует:

т. е. дифференциальное уравнение для вида гл. II § 3, (14). Начальное значение для со должно быть выбрано таким образом, чтобы выражение под корнем было положительно. Выбор знака получается изначальных значений так как согласно (8) и (9) отсюда получается знак левой части (10). Чтобы изучить ход движения, основываясь на исследовании гл. II, § 3, 3, величины должны быть расположены по порядку их численных значений. Начальное состояние определяется начальными значениями или, что в силу (2) и (3) означает то же самое, тремя постоянными где есть начальное значение При этом йожет быть задано произвольно, в то время как должны удовлетворять неравенствам вытекающим из (2), (1) (при и неравенствам между тремя главными моментами инерции. Вычитая уравнения (6) друг из друга, мы нолучим:

Из неравенств между в таком случае вытекает Напротив, знак разности нельзя указать, так как может быть как меньше, так и больше среднего главного момента инерции Чтобы иметь дело с определенным случаем, мы предположим, что (в противоположном случае вычисления нроделываются совершенно аналогично); в таком случае согласно (4) и (11) имеют место неравенства:

Для того чтобы в (10) левая сторона была вещественной, необходимо, чтобы начальные условия удовлетворяли неравенству В таком случае, согласно гл. II, § в течение всего движения остается между значениями Функция К в гл. II, § 3, (14) имеет здесь значение:

Если отличаются друг от друга, то мы имеем дело с простыми нудями функции есть периодическая функция времени, неменяющаяся между границами с периодом:

Если, наоборот, но то мы имеем дело с двойным нулем с течением времени асимптотически приближается к значению Но на основании (5) отсюда следует, что стремятся к нулю и что, следовательно, движение асимтотически приближается к равномерному вращению

около оси среднего главного момента инерции. Равномерность вытекает из того, что, согласно откуда в силу равенств из (2) следует Следовательно, в атом случае движение непериодично. Если, наоборот, есть двойной корень уравнения то уравнения (11) следует Но так как есть наименьший главный момент инерции, то на основании уравнения (2) это может быть только в том случае, если движение уже вначале представляло собой равномерное вращение около оси