§ 2. Основные задачи; метод отражений и электрических изображений

1. Однородные основные задачи.

Основные задачи электростатики распадаются на две группы, которые математически различаются как однородные и неоднородные задачи. Простейшей задачей первого типа является следующая: электрический проводник, окруженный со всех сторон диэлектриком, получает определенный заряд. В состояпии равновесия этот заряд распределяется, в силу § 1, но поверхности проводника таким образом, чтобы внутри его не было никакого поля, следовательно, При этом требуется найти распределение заряда на поверхности и потенциал, который ирипимает проводник но отношению к бесконечности или к земле и другим весьма удаленным проводникам. На основании § 1 (5) распределение заряда будет известно, когда определено электрическое поле и его потенциал снаружи проводника.

Эта задача принимает совершенно элементарный характер в случае сферического проводника радиуса а, который находится в диэлектрической среде с постоянной Потенциал в окружающей среде удовлетворяет уравнению и должен в этом случае обладать сферической симметрией, т. е. зависеть только

от расстояния до центра проводника. Единственная функция, удовлетворяющая этим условиям, если отвлечься от аддитивной произвольной постоянной, есть

где некоторая постоянная. В этом случае, в силу § 1, (5), илотность заряда на поверхности при Следовательно, полный, заряд Если задано, то будет известно также и Внутри шара потенциал принимает постоянное значение Если задано значение потенциала то заряд Отношение называется емкостью проводника по отношению к бесконечности и принимает в данном случае значение

Более общая однородная задача заключается в том, что имеются два или несколько изолированных друг от друга проводников, погруженных в диэлектрик, и вадана разность потенциалов между этими проводниками; требуется найти соответствующие заряды. Простейший пример такой задачи представляет собой шаровой конденсатор, т. е. два концентрических металлических полых шара, между которыми приложена разность потенциалов Пусть промежуточная среда простирается от до и имеет диэлектрическую постоянную

Сферически симметричная потенциальная функция в этой среде имеет вид

Следовательно:

Плотность заряда на внутреннем шаре

а на внешнем

причем различие в знаках связано с тем, что на шаровой поверхности нормаль, проведенная из металла в диэлектрик, соответствует направлению убывающего Полный заряд на обеих шаровых поверхностях имеет, следовательно, значения

так что величину

можно рассматривать как взаимную емкость обоих шаровых слоев. При убывании расстояния между поверхностями обоих шаров, она неограниченно растет.