4. Единственность решения.
Применим интегрирование по частям, которое привело нас к вышеустановленным принципам минимума, для того чтобы показать единственность решения наших дифференциальных уравнений при определенных граничных условиях. Положим, что на некоторое тело действуют заданные
объемные силы, а на его поверхности заданы на одной части поверхностные силы, а на другой — смещения. Пусть нами подучено два различных решения дифференциальных уравнений, причем оба решения удовлетворяют одним и тем же заданным граничным условиям. Тогда вследствие линейности уравнений и граничных условий разность этих решений есть также решение наших дифференциальных уравнений при отсутствии объемных сил. Действительно, обозначим наши решения через 
а соответствующие им напряжения 
Разности обоих решений мы будем обозначать такими же буквами, но без индексов. Тогда
и для разностей имеем:
На поверхности, в тех местах, где заданы смещения, имеем:
а там, где заданы поверхностные силы:
Составим выражение для работы деформации (энергии деформации), соответствующей разности решений:
Здесь мы можем положить (§ 4, 1)
или, в векторной форме:
Но, на основании (21):
и следовательно:
Этот поверхностный интеграл, согласно формулам. (22) и (23), равен нулю, так как на границе обращаются в нуль или смещения иди составляющие вектора напряжения. Отсюда:
но так как 
всегда неотрицательная величина, то этот интеграл может быть равен нулю, если только во всех точках
Но 
есть определенная положительная квадратичная форма своих аргументов и, следовательно, равенство (18) может иметь место, только если каждый из этих аргументов равен нулю во всей рассматриваемой области. Значит
Отсюда оледует, что смещения 
из представляют собой только перемещение всего тела без деформации. Если часть поверхности закреплена, то должно быть и 
и во всей области оба решения 
совпадают. Если на поверхности заданы только поверхностные силы, то напряжения в обоих решениях одинаковы, а смещения могут отличаться друг от друга только перемещением всего тела в целом без деформации.
В добавление следует отметить случай, когда в некоторых точках поверхности заданы частично компоненты напряжений и частично компоненты деформаций, причем в каждой точке заданная поверхностная сила перпендикулярна заданному смещению. Поверхностный интеграл (25) обращается в нуль и в этом случае, чем доказывается единственность решения и для этого случая
