4. Метод Ритца. Эллиптическая мембрана.

Ритцу принадлежит следующий прямой метод определения характеристических чисел и фундаментальных функций из их минимальных свойств. Мы укажем здесь только ход вычислений. Желающих ознакомиться - с исследованиями сходимости метода мы отсылаем к подробным курсам математической физики.

Мы будем исходить непосредственно из вариационной задачи, которая заключается в следующем: из всех непрерывных и дифференцируемых функций, обращающихся в нуль на границе, требуетея найти такие, для которых

минимален. Положим нам дан ряд функций обращающихся в нуль на границе и подобранных таким образом, чтобы любая непрерывная и дифференцируемая функция, обращающаяся в нуль на границе. могла быть представлена, вместе с ее производными, рядом вида

с любой степенью точности. Положим, что решение нашей вариационной задачи приближенно можетбыть представлено конечной суммой

Определим коэффициенты так, чтобы выполнялось добавочное условие и чтобы было минимально.

Обозначая через неопределенный множитель Лагранжа для добавочного условия, мы должны решить систему уравнений

Так как

и

то эти уравнения могут быть записаны в виде

Мы получили столько линейных однородных уравнений, сколько требуется определить коэффициентов а. Эта система уравнений имеет решение, отличное от нуля, только тогда, когда ее определитель равен нулю. Приравнивая последний нулю, мы получаем алгебраическое уравнение для определения множителя Лагранжа Степень этого уравнения равна числу коэффициентов. Так как определитель симметричен, то уравнение это имеет только вещественные корни. Умножая уравнение (43) на и суммируя, мы убедимся, что эти корни кроме того еще положительны. Действительно, суть квадратичные формы относительно а и по теореме Эйлера об однородных функциях

Отоюда мы получаем, помня, что

Если найдены значения X, то для каждого значения являющегося корнем определителя, мы получаем систему коэффициентов которые определяют нам функцию При увеличении числа коэффициентов корни определителя стремятся к характеристическим числам нашей вариационной задачи.

Этот метод обычно применяют для определения характеристических чисел. Мы вычислим с его помощью первое характеристическое число эллиптической мембраны. Заметим себе сначала, что этот метод приближения даст нам заведомо слишком большое значение характеристического числа. Действительно, последнее равно минимуму и поэтому всегда меньше полученного приближения.

Для эллипса мы сделаем еще одно предварительное упрощающее задачу вамечание. Будем считать, что за оси координат выбраны оси эллипса. Наименьшему характеристическому числу может соответствовать только одна фундаментальная функция; докажем, что она должна быть симметрична относительно х и у. Действительно, обозначим ее через Из соображений симметрии есть также фундаментальная функция. Если то разность есть также фундаментальная функция, имеющая узловую линию что невозможно, ибо фундаментальная функция, соответствующая первому характеристическому числу, не имеет узловых линий. Поэтому при олределенин первой фундаментальной функции мы можем ограничиться только четными функциями от х и у. Обозначая полуоси эллипса через мы напишем уравнение последнего в виде

Выберем простейшее приближение, удовлетворяющее граничному условию:

Константу С мы определим из условия

что дает

Других коэффициентов, выбором которых могло бы еще быть снижено значение минимизируемого интеграла, в нашем распоряжении не имеется. Вычисляя минимазируемый интеграл, мы получаем элементарным интегрированием:

подставляя сюда вычисленное значение для мы получаем приближенное значение первого характеристического числа но (45):

Для улучшения этого значения мы сделаем дальнейшее предположение, что

Стоящий спереди множитель обеспечивает выполнение граничного условия при любых значениях Вычисляя значения интегралов как функций от мы получаем:

Если отбросить несущественные множители и ввести сокращение

то уравнения

принимают вид:

Мы проведем вычисления до конца в частном случае Умножая последние уравнения на 24, мы имеем:

Для того чтобы эта однородная система уравнений имела решения, отличные от нуля, необходимо и достаточно, чтобы определитель, составленный из ее коэффициентов

обратился в нуль. Наименьший корень этого уравнения Отсюда

Сравнивая это с результатом первого приближения

мы видим, что более точное приближенное значение на 5% меньше первого. Вычисляя коэффициенты мы получаем:

Недостатком метода является то, что мы не имеем никакой возможности оценить ошибку вычисления. При определении характеристических чисел поэтому считают приближение достаточным, если при дальнейшем улучшении приближения последующее приближенное значение не отличается заметно от предыдущего.