4. Аналитические свойства решений.

Для аналитического исследования нашего дифференциального уравнения мы используем формулу, получающуюся из теоремы Гаусса:

(поверхностный интеграл расхождения равен потоку нормального компонента вектора черев границу). Если компоненты вектора то

и

и суть направляющие косинусы внешней нормали к контуру по отношению к осям.

Если о есть некоторая функция точки, то есть вектор с компонента тами и В согласии с этим

а нормальный компонент в направлении внешней нормали есть

Пусть есть другая функция точки, тогда

где есть скалярное произведение векторов и Применяя теорему Гаусса к последнему уравнению, получаем

Меняя местами, имеем

и вычитая получаем окончательно:

Интеграл по контуру в правой части мы рассмотрим в частном случае, который нам понадобится в дальнейшем. Пусть непрерывная функция с непрерывными первыми производными, а есть функция, логарифмически обращающаяся в бесконечность в точке с координатами т. е.

где имеет непрерывные первые производные. Вычисляя контурный интеграл вдоль маленькой окружности радиуса вокруг точки и устремляя к нулю, мы получаем

В пределе, при все интегралы, за исключением интеграла

обращаются в нуль. Пусть есть нормаль, направленная внутрь круга, тогда

и

Полученные формулы мы применим к исследованию дифференциальвюго уравнения

Сначала мы докажем, что все решения этого уравнения суть аналитические функции. Для этой цели мы подставим в формулу где есть исследуемое решение дифференциального уравнения. За мы выберем такое решение этого же дифференциального уравнения, которое в точке обращается логарифмически в бесконечность и зависит только от расстояния от точки Чтобы найти такое решение, введем полярные координаты полюсом в точке Мы получаем для уравнение (приняв во внимание, что не зависит от

Это есть дифференциальное уравнение бесселевой функции нулевого порядка. Последнее имеет два линейно независимых решения, Функция (в дальнейшем мы будем опускать индексы при всех значениях непрерывна и сколь угодно раз дифференцируема, при обращается логарифмически в бесконечность и имеет требуемый для вид

где имеет непрерывные первые производные. Пусть точка лежит внутри области в которой имеет непрерывные производные. Применим тогда формулу (49) к области которая получается из если последней вырезать круг малого радиуса вокруг точки Так как удовлетворяют вашему дифференциальному уравнению, то

и формула (49) дает нам

где контурный интеграл распространен по полной границе области включая окружность вокруг точки Разлагая (52) на два интеграла, один по внешнему контуру а второй по окружности вокруг точки мы получаем на основании: (51), что последний интеграл равен

откуда

или

Здесь контурный интеграл уже распространен только по контуру, ограничивающему область

Формула (53) представляет собой аналог теоремы Грина в теории потенциала. Если точка лежит вне области, то исключать эту точку нет надобности. Часть интеграла, соответствующая малому кругу, отпадает, и мы получим

Если мы вместо бесселевой функции К возьмем функцию первого рода то

[независимо от того, лежит ли вне или внутри Если лежит внутри то в формуле отлично от нуля. Так как при сколько угодно раз дифференцируема, то и внутри области регулярности также сколь угодно раз дифференцируемо. Например,

Следовательно, есть аналитическая функция от

Теорема о средних значениях. Выбирая за круговую область, мы получаем из (53) теорему, соответствующую теореме о среднем в теории потенциала. Пусть есть радиус круга. Тогда при интегрировании по контуру, есть постоянная. Ее нормальная производная равна

и, далее, Отмечая значение в центре значком , мы получаем из формул (53) и (55)

Эти формулы верны для любого решения нашего дифференциального уравнения. Применяя их в частности к функции мы получаем:

так как Умножая (56) на а (57) на и вычитая, получим, принимая во внимание (58),

следовательно, значение функции в центре круга получается, если мы разделим среднее значение функции на границе этого круга на

Отсюда можно заключить, точки, в которых обращается в нуль, не могут быть изолированы. Если в некоторой точке обращается в нуль, то на любом круге с центром в точке функция должна принимать и положительные и отрицательные значения, и тем самым на крайней мере два раза обратится в нуль. Следовательно, через точку должна проходить кривая Каждая кривая отделяет, следовательно, части плоскости, в которых больше нуля, от частей плоскости, в которых меньше нуля.

Уравнение имеет бесчисленное множество корней из которых наименьший Полагая мы имеем

Следовательно, на нерефирии круга радиуса с центром в любой точке функция должна менять свой знак, область, в которой задана целиком содержит этот круг.