§ 2. Возмущения упругих колебаний
1. Возмущающая сила нронорциопальна второй степени отклонения.
Рассмотрим теперь в качестве простого примера материальную точку, колеблющуюся в плоскости около начала координат. Пусть ее прямоугольные координаты будут 
ее масса 1. Как невозмущенное движение, мы будем рассматривать чисто упругие колебания, гамильтонова функция которых имеет на основании гл. II, § 5 (19) вид:
Для этой системы, согласно гл. I, § 5, 4, можно ввести соответствующие угловые переменные и переменные действия. Из касательного преобразования гл. II, § 6 (22):
вытекает:
Тот случаи, когда сила не удовлетворяет в точности закону пропорциональности Гука, а содержит также член — 
пропорциональный квадрату отклонения, при малом X, мы моле ем изучать по методу вычисления возмущений, изложенному в § 1. В этом случае гамильтонова функция II полной системы имеет вид:
Вели ввести в (4) величины 
согласно (2), то мы получим формулу, соответствующую формуле § 1, (14), причем
получается из (4) и (2) с помощью формулы 
В таком случае, согласно § 1 (10), дифференциальные уравнения возмущенного движения имеют вид:
При этом 
так как, согласно (3), производные по 
от 
не зависят от 
В таком случае нам нужно в правой части везде подставить нулевое приближение 
и мы получим посредством иптегрировапия соответственно § 1, (22), первое приближение:
При этом постоянные интегрирования определены таким образом, что при 
имеют место равенства 
В противоположность Общему случаю § 1, (22), здесь 
т. е. частоты колебания в первом приближении 
испытывают под влиянием возмущения никакого изменения. Согласно § 1, (21), это зависит от того, что в нашем случае, в силу (5), вековая часть возмущающей функции 
и величины v - не зависят от 
Величины 
возмущенного движения отличаются от соответствующих величин при чисто упругом колебании только на "периодические" члены, если не считать того, что постоянные траектории сами изменяются на малые величины и 
Траектория опять заполняет повсюду плотно прямоугольник плоскости 
если мы предположим; что невозмущенное движение невырождено и, следовательно, в точности двукратно периодично. В силу (2), мы можем из (7) получить также приближенные формулы для самих прямоугольных координат 
Если
мы разложим формулы для 
полученные подстановкой выражений (7) в (2), около точек 
и сохраним только члены первого порядка, то после простых тригонометрических преобразований мы придем к следующему результату:
Следовательно, возмущенное движение совершается уже не около начала координат, как центра, по прямоугольник, заполненный траекторией, лежит симметрично относительно точки с прямоугольными координатами 
Это смещение зависит от 
следовательно от амплитуды упругих колебаний, оскулирующих в момент времени t = 0. Возиущающая функция здесь выбрана таким образом, что даже в случае вырождения невозмущенной системы, следовательно, в случае простого периодического упругого колебания (например, 
разложения (7) не содержат вековых членов.
