Главная > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
765
766
767
768
769
770
771
772
773
774
775
776
777
778
779
780
781
782
783
784
785
786
787
788
789
790
791
792
793
794
795
796
797
798
799
800
801
802
803
804
805
806
807
808
809
810
811
812
813
814
815
816
817
818
819
820
821
822
823
824
825
826
827
828
829
830
831
832
833
834
835
836
837
838
839
840
841
842
843
844
845
846
847
848
849
850
851
852
853
854
855
856
857
858
859
860
861
862
863
864
865
866
867
868
869
870
871
872
873
874
875
876
877
878
879
880
881
882
883
884
885
886
887
888
889
890
891
892
893
894
895
896
897
898
899
900
901
902
903
904
905
906
907
908
909
910
911
912
913
914
915
916
917
918
919
920
921
922
923
924
925
926
927
928
929
930
931
932
933
934
935
936
937
938
939
940
941
942
943
944
945
946
947
948
949
950
951
952
953
954
955
956
957
958
959
960
961
962
963
964
965
966
967
968
969
970
971
972
973
974
975
976
977
978
979
980
981
982
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 4. Беспроволочная телеграфия вокруг земли

Чтобы решить часто возбуждаемый вопрос, может ли кривизна земного шара быть преодолена при однородной атмосфере или же для этого необходим

так называемый слой Хевисайда, мы займемся в этом параграфе представлением электромагнитного поля излучателя в однородной атмосфере при помощи строгих формул, удобных для вывода физических следствий. В многочисленных и во многом отличающихся друг от друга результатах прежних авторов можно ориентироваться по работам Ватсона и Лапорта которых мы и будем придерживаться при исследовании наших формул. В виде дополнения, мы коснемся вадачи со схематизованной неоднородной атмосферой, именно, случая распространения волн между поверхностью земли и ревко выраженным сдоем Хевисайда, присутствие которого, конечно, очень благоприятствует преодолению кривизны земли.

1. Однородная атмосфера, общая формулировка задачи.

Мы будем исходить из рассуждений гл. XX, § 4, 4. Оптическое поле вокруг шара было там представлено с помощью двух потенциалов из которых получались электрические и магнитные поля путем дифференцирования. Пусть в нашем случае дело идет об антенне, перпендикулярной к поверхности земли. Поле этой антенны будет симметрично вокруг земного диаметра, проходящего через антенну, причем магнитные силовые линии имеют вид кругов, перпендикулярных к этому диаметру и с центром на нем, а электрические силовые линии лежат в меридианных плоскостях. Составляющая магнитного поля, перпендикулярная к поверхности земли, вевде равна поэтому нулю. Мы можем, следовательно, обойтись здесь одним потенциалом и, который как раз характеризуется, в отличие от условием Если ввести полярные координаты с началом в центре земли и о осью проходящей черев антенну, то и, кроме того, не будет зависеть от 9. Следовательно, поле будет выражаться уравнениями (28) стр. 900, которые (если вевде подразумевать множитель и положить не только в воздухе, но и в вемле) дают, при

Первичное поле антенны мы будем рассматривать как дипольное поле с вертикальной осью. По теореме сложения (18) стр. 897, такое поле выражается в координатах точки наблюдения и в координатах источника, следующим образом:

Мы отбрасываем везде верхний значок функции Вместо подставляем так что обозначает расстояние антенны от центра земли. Мы предположим сначала радиусу вемли), так как шар играет особую роль в представлении и в виде ряда (2), и его надо отличать от шара для которого будут написаны граничные условия. Мы должны тогда равличать три области:

Имея в виду, что внутри земли первичное возбуждение отсутствует, и пользуясь (2), будем писать это первичное возбуждение в виде:

Для выражения вторичного возбуждения нужно заметить, что здесь шар не имеет никакого особого значения, так что в областях 1 и 2 будут одни и те же формулы. Так как здесь мы имеем дело с решениями уравнения которые внутри земли всегда конечны, а снаружи имеют характер уходящих волн, мы положим, вводя неизвестные коэффициенты а

Для полного возбуждения мы, следовательно, будем иметь:

Согласно уравнениям (1), условия на поверхности земли (граница между 2-й и 3-й областью) будут:

a) непрерывно, т. е. непрерывно:

b) непрерывно, т. е. непрерывно:

Чтобы упростить формулы, введем следующие обозначения:

Тогда условия (3) переходят в

Теперь, удовлетворив граничным условиям, мы можем перейти к пределу возникающих тут вопросах сходимости, см. Ватсон, 1. с.). Тогда мы имеем:

Так как при этом область 2 стягивается в ничто, то нас будет интересовать только область 1 и следующая комбинация коэффициентов:

Числитель вдесь зависит только от одного аргумента и по определениям (4) равен

Но обе функции и удовлетворяют дифференциальному уравнению (7), стр. 893:

Поэтому, по известной теореме о линейных дифференциальных уравнениях:

Для определения постоянной О мы можем воспользоваться асимптотической формулой (11) стр. 894.

Из этих формул и зависимости (10) между следует так что величина (7) равна мы можем теперь написать вместо (6):

и наш потенциал во внешнем пространстве будет:

Для области внутри вемли получается соответственно:

В случае бесконечной проводимости земли в

и разумеется, Для конечной, но большой проводимости мы можем разложить (8) на суиму двух членов:

2. Переход от рядов к интегральному представлению.

Нас, главным образом, интересует поле в воздухе [уравнение (8)] и прежде всего предельный случай (10). Так как порядок величины отношения будет около , то (мы будем отбрасывать значок и значок будут большие числа. Поэтому пока и не очень велико, можно брать асимптотические формулы (11) стр. 894, которые показывают, что не зависит от Так как с возрастанием даже увеличивается, о практической сходимости ряда может быть и речи. Нужно было бы веять больше 1000 членов, чтобы формулы (11) сделались непригодными и на их место встали бы асимптотические приближения Дебая (ср. стр. 871); только тогда ряд начинает действительно сходиться. Вследствие этого ряд (10) совершенно не пригоден для численных вычислений. Мы возьмем его только в качестве исходного материала для комплексного интеграла такого рода, чтобы сумма вычетов подинтегральной функции совпадала с исходным рядом.

Рис. 115.

Пользуясь методом, полезным также и в других случаях, добавим в знаменателе множитель который на положительной вещественной оси в точках исчезает как

Мы получим искомый интеграл, если в общем члене разложения (10) вместо напишем и проинтегрируем по по петле 31 вокруг положительной вещественной оси по направлению часовой стрелки. Тогда получается равнозначащее с (10) выражение:

Аргумент в выражении шаровой функции учитывает множитель в (11), так как Путь 31 вокруг вещественной положительной оси эквивалентен пути 33, лежащему над вещественной осью, рис. 115. Чтобы это доказать, покажем, что множитель при в (12) есть четная функция от Во-первых, из дифференциального уравнения для шаровых функций следует, что, если при нецелом значении понимать под то решение уравнения,

которое удовлетворяет условию эта функция будет обладать свойством прию

Затем, из свяви между стр. 894 и из (6а) стр. 867, видно, что

Такое же уравнение справедливо, по определению (4), также и для

Следовательно, также есть четная функция от Так как четно, то интеграл (12) не меняется при замене на При этом часть §1, лежащая под вещественной осью, переходит в показанный на рисунке пунктиром путь 31, а его вместе с §1 можно перевести в 33, что и требовалось доказать.

Путь 23 мы будем далее деформировать в положительно мнимую сторону (верхняя полуплоскость рис. 115). Для подготовки рассмотрим поведение при больших положительно-мнимых значениях Для таких можно вывести асимптотическое равенство:

и так как одновременно

то

что исчезает экспоненциально. При этом, для удобства, величина в знаменателе заменена через что в асимптотической формуле, конечно, позволительно.

Далее мы должны исследовать поведение и как функций от в положительно-мнимой полуплоскости переменной I к, в частности, определить корни Обыкновенные асимптотические формулы (11) стр. 894 здесь, разумеется, не годятся, так как они выведены для конечного индекса (порядок Бесселевой функции) и бесконечно возрастающего аргумента. Но и здесь мы можем пользоваться, по Дебаю, методом седловой точки и получить формулы, годные для большого аргумента (радиус земли) и большого или бесконечно большого индекса. Относительно подробностей мы должны отослать к работе Дебая, вдесь же укажем только общий ход вывода.

Во-первых, отличается от только не зависящим от множителем [стр. 894 ур. (9)], так что мы можем рассматривать вместо С. Мы напишем интегральное выражение (3) стр. 866 в виде:

Седловые точки будут там, где Там мы имеем, согласно (13),

Положим, вмеоте с Дебаем:

тогда в седловых точках

Асимптотическое поведение в основном определяется показательной функцией (ср. стр. 868 и 869); добавочный множитель, который вычисляется из не играет здесь особой роли.

Уже экспоненциальная форма показывает, что мы не подучим корней пока асимптотическое поведение будет определяться только одной из седловых точек (на седловые точки целое, мы можем не обращать внимания). Это всегда будет так, если комплексно, что, в силу (14а), при комплексном вообще и будет иметь место. Если же вещественно, то для асимптотического поведения одинаково важйы обе седловые точки Вместо показательной функции мы тогда получаем косинус и в качестве асимптотического выражения мы получаем (отбросив указанный множитель):

Корни определяются, следовательно, условием:

Здесь целое число нужно брать отрицательным (ср. Дебай). Поэтому мы будем писать вместо Для малых х (не очень больших следует:

причем относительно знака корня из единицы опять отсылаем к Дебаю. Отсюда, вследствие (14а), следует:

или

Эти величины представляют корни уравнения рассматриваемого как уравнение для Для вещественного они лежат в положительно-мнимой полуплоскости переменной для иллюстрации их расположения может качественно служить рис. 115, на котором указаны корни Одновременно мы получаем корни рассматриваемого как уравнение для Именно из (16) мы непосредственно заключаем:

и так как в первом приближении то

Таким образом, корни уравнения лежат (при вещественном в отрицательной мнимой полуплоскости переменной Этот результат находится в согласии с упомянутым на стр. 871 следствием из теоремы Грина.

Для исследования нашего интеграла (12) нам нужны, собственно, не корни а корни знаменателя Их мы легко найдем следующим образом.

При вычислении мы в формуле (15) отбросили медленно меняющуюся амплитуду. Такая же амплитуда будет и у функции С, отличающейся от медленно меняющимся множителем. Мы можем поэтому положить:

где

С той же степенью приближения мы будем иметь:

если пренебрежем производной от медленно меняющейся величины Следовательно, корни даются уравнением Вблизи корня мы имеем:

или

Амплитуда А выпала из наших формул. Вычислим производные Дифференцируя (17), получаем:

С другой стороны, соотношение [уравнение (14а)] дает:

Следовательно,

Подставляя эти выражения в (18), получим:

Найдем теперь корни Если мы поступим с этим уравнением так же, как раньше с аналогичным уравнением (15а), т. е. будем считать малым, отрицательным (и писать вместо него — и кроме того положим, в соответствии с (12), аргумент равным а (вместо мы получим:

Эти корни также лежат в положительно-мнимой полуплоскости (рис. 115); они отмечены там как

Мы ограничимся вычислением интеграла (12) для точек в непосредственной близости от земной поверхности, где На основании (18а) мы имеем вблизи

Наш интеграл (12), по теореме Еоши, равен умноженной на сумме вычетов в точках т. е. согласно и (20):

Если мы выразим вдесь последний множитель с достаточным приближением черев и включим все постоянные В уже отброшенную амплитуду, мы получим окончательно:

3. Численное исследование и дополнения.

Корни заданные уравнением (19), имеют положительную мнимую часть и поэтому вызывают нечто вроде затухания (или лучше затенения). Выпишем разделенные на а 8 мнимые частя корней в виде таблицы:

Соответствующий множитель затухания при равен

Положив радиусу земли мы найдем:

откуда для получается затухание:

Для второго корня, мнимая часть которого превышает мнимую часть первого немного больше чем в три раза, затухание будет Множитель в (21) уменьшает эту величину примерно до Поэтому мы в праве пренебречь вторым, и тем более третьим членами в сумме (21), и напирать просто:

Здесь мы в вещественной части пренебрегли содержащим в поправочным членом сравнению с главным членом обозначает расстояние между отправителем и приемником, считаемое по поверхности земли. Из двух следующих выражений для затухающего множителя 8, первое получается, если подставить вместо а его значение в километрах, второе, если, кроме того, ввести вместо угла расстояние

В обоих последних выражениях нужно, разумеется, выражать в километрах.

Зависимость показателя от X показывает, что затенение будет тем полнее, чем меньше X, чем менее заметна диффракция (огибание шара).

Распространение фазы, задаваемое множителем ем в (22), происходит со скоростью света с вдоль земной поверхности. Очень интересен множитель а в (22). Он указывает на концентрацию энергии в точке, диаметрально противоположной с отправителем, как это можно обнаружить на самом деле. Правда, надо иметь в виду, что вблизи самой этой точки наша формула непригодна, так как там не годится примененное в асимптотическое выражение шаровых функций (см. ниже), вследствие чего кажущееся обращение и в бесконечность при не реально. С другой стороны, множитель ясно показывает, что процесс распространения сильно отличается от процессов геометрической оптики, именно, что в самом деле происходит загибание силовых линий вдоль поверхности земли (также и в случае идеально проводящей земли). В рамках теории диффракции можно было бы сравнить увеличение интенсивности при с так называемыми явлениями диффракции Пуассона, которые происходят на обратной стороне совершенно непрозрачного диска.

Бросим еще взгляд на выражение из в уравнении (10а), учитывающее в первом приближении конечную проводимость земли. Здесь вместо знаменателя стоит его квадрат. При переходе к интегральному выражению нули будут входить квадратично, но без изменения их положения. Поэтому вычеты подинтегральной функции нужно вычислять иначе, но затухающий множитель , который получается из асимптотического значения остается «прежний. Поэтому конечная проводимость не изменяет меры затухания или затенения и не дает ничего существенного для объяснения дальности действия радио-телеграфных сигналов.

Наконец, мы можем сделать переход к пределу а т. е. к плоской земле, который должен вернуть нас к формулам § 1. При конечном с переходом к пределу угол измеренный от центра земли, обращается в нуль. Для шаровых функций будет справедливо уже не выражение а следующее выражение:

Отсюда мы заключаем, положив

Если мы подставим это в (10) и превратим сумму по в интеграл по причем то мы получим:

При вычислении ограничимся, для краткости, поверхностью земли, где а, и заметим, что теперь нужны не нули функции а произвольные

точки на вещественной оси так что нужно брать первоначальную показательную форму асимптотического выражения упомянутую на стр. 980, а не тригонометрическую, т. е., по примеру наших предыдущих вычислений, положить:

Но, согласно уравнению (14а), в применяемых нами теперь обозначениях а вместо мы имеем:

Подставив (24) и (25) в (23), получим:

а это и есть в точности наш прежний результат (15) § 1 (с измененными обозначениями вместо для предельного случая (ср. там Делитель перед интегралом получается потому, что в уравнении (2) мы исходили не из а из Как показывает Лапорт в цитированной работе, аналогично можно получить, с помощью перехода к пределу формулу (15), § 1 и для произвольного k.

Заметим еще, что общий вид (22а) затухающего множителя указан впервые Пуанкаре в 1905 г., а стоящий там и имеющий существенное значение численный коэффициент дан Никольсоном в 1910 г. и Макдональдом в 1914 г. Наше изложение в основном совпадает с цитированными работами Ватсона и Лапорта.

4. Сравнение с опытом. Слой Хевисайда.

Количественные наблюдения интенсивности приема очень трудны. Лучшие наблюдения принадлежат, пожалуй, Аустину (L. W. Austin). Результаты вообще таковы, что интенсивности приема в действительности гораздо больше тех, которые должны были быть по предыдущей теории, т. е. для однородной атмосферы, причем это происходит как днем, когда наблюдения дают однородные результаты, так и в особенности ночью, когда результаты получаются неоднородные и иногда дают гораздо большие дальности, чем днем. Аустин представляет результаты своих наблюдений эмпирической формулой с множителем затухания:

Характерна зависимость показателя от там стоит вместо X в уравнении (22а).

Для объяснения неожиданно большой дальности приема, со времен Хевисайда (1900) принимают существование ионизованного и поэтому проводящего верхнего слоя воздуха. Если рассматривать этот слой и землю как идеальные проводники, то распространение волн было бы сконцентрировано в относительно топком слое. Внутри последнего надо, ввнду того что поле уже не простирается на бесконечность, брать вместо 1., стр. 976, более общее выражение

причем появляется новое предельное условие на внешней границе шарового слоя. Интересно то, что Ватсон, пользуясь тем же методом, при помощи которого он исследовал разобранный выше случай однородной атмосферы, показал, что для шарового слоя множитель затухания имеет тот же вид, как в формуле (27), т. е. что он пропорционален . Для объяснения полученного Аустином численного множителя 9,6 нужны, впрочем, добавочные предположения.

Непосредственные наблюдения над сигналами на короткие расстояния также подтверждают существование слоя Хевисайда. В этой области особенно ценные данные были получены Экльтоном и его учениками. Брэйт и Тюв измерили и описали эхо радиоволн, возникающее у слоя Хевисайда. Из наблюденной разности времен получается высота отражающего слоя от 80 до 200 км.

УЧЕБНИКИ

(см. скан)

1
Оглавление
email@scask.ru