3. Конформное преобразование типа ...

Переменная С, введенная нами в § 2, имеет большие преимущества при теоретическом анализе различных свойств комплексных решений. Однако, при решении некоторых задач удобно произвести замену переменных и использовать другие переменные. В плоских задачах отражения упругих волн удобнее пользоваться переменной:

При такой замене переменных круг единичного радиуса в области С переходит в целую плоскость комплексной переменного 6 с купюрой вдоль вещественнои оси от точки точки

Окружность переходит в дважды повторенный отрезок

Верхнему полукругу С соответствует нижняя полуплоскость , а нижнему полукругу С верхняя полуплоскость. Отрезку мнимой оси отвечает отрезок мнимой оси а отрезку — отрезок Отрезку вещественной оси отвечает отрезок а отрезку — отрезок —

Началу координат отвечает бесконечно удаленная точка При этом, так, как функция имеет в начале полюс первого порядка, то всякая функция, имеющая, как функция от С, полюс или корень порядка к при будет иметь полюс или корень той же кратности, как функция при от

Функцию мы будем записывать как Радикал будет в нашей плоскости с разрезом однозначной функцией.

Мы будем, таким образом, принимать его положительным при значениях в на положительной части мнимой оси и отрицательным на отрицательной ее части.

При этом он будет отрицательно-мнимым для и положительно-мнимым для

Однородные решения волнового уравнения:

мы будем, следовательно, записывать в виде:

или

где

Формула (28) будет давать значение и внутри конуса (12), а формула (29) вне его.

В уравнении (30) радикал считается всегда униформизированным по тому способу, который указан выше.

То же самое касается уравнения:

решение которого будет представляться. в виде:

или

где