6. Класс комплексных решений волнового уравнения.

В предыдущих главах этой книги мы уже встречались с приложениями теории функций комплексного переменного к уравнению Лапласа в двух измерениях:

Основная мысль, лежащая в основе этого метода, может быть применена не только к интегрированию уравнения Лапласа, но и к решению некоторых упругих задач, связанных с волновым уравнением для пространства двух измерений:

это уравнение уже неоднократно встречалось нам на страницах этой книги.

Мы знаем, что произвольное решение уравнения Лапласа (33) всегда может быть представлено в форме вещественной части некоторой аналитической функции, комплексного переменного

где символ обозначает вещественную часть комплексного выражения. Иначе формула (35) записывается:

где символ обозначает сопряженную функцию комплексного переменного, то есть такую аналитическую функцию, значения которой отличаются лишь знаком мнимой части от соответствующих значений функции в точках,

симметричных относительно вещественной оси (область, в которой определена функция является, таким образом, симметричной с областью, в которой определена функция относительно оси

Формула (36), по внешнему виду, совершенно совпадает с интегралом Даламбера, представляющим общее решение уравнения струны, известное читателю из предыдущих глав.

Каждое из ее слагаемых в комплексной области представляет собой решение уравнения (33).

Аналогично этому, можно построить некоторый класс решений волнового уравнения (34), определяемый с помощью формул, близких по структуре к (36).

Поставим себе задачу: построить класс решений уравнения (34), с помощью формулы:

где представляет собой некоторую, определенным образом подобранную, функцию переменных быть может комплексную, произвольная аналитическая функция комплексного переменного.

Подставляя выражение (37), в уравнение (34), мы получим:

Благодаря произвольности функции мы должны приравнять нулю оба коэффициента, при и при порознь. Таким образом, для функции мы получим систему двух уравнений:

которые представляют собою необходимое и достаточное условие того, чтобы формула (36) давала решение волнового уравнения (33).

Детальный анализ этих уравнений, на котором мы сейчас не можем останавливаться, дает нам общий интеграл системы (38), задающий функцию 2 в неявном виде. Этот общий интеграл представляет собою уравнение, линейное относительно х,

коэффициенты уравнения (39) должны быть связаны зависимостью:

Тот факт, что уравнения (38) дают решение уравнения (34), легко проверить непосредственно. Действительно, по формуле дифференцирования неявных

функций мы подучим следующие выражения для производных от по координатам:

где для краткости символом 8 обозначена частная производная от девой части уравнения (39) по .

Подставляя эти выражения в уравнения (38) и пользуясь (40), мы легко убеждаемся в справедливости нашего утверждения.

Таким обравом, мы видим, что волновое уравнение (34) имеет класс решений, представляемых формулой (37), где определяется равенством (39), коэффициенты которого подчинены, уоловию (40).

Эти решения являются единственными представнмыми в таком виде. Полезно выразить непосредственно производные от по Путем несложных выкладок получим:

Простейшие решения вида (37), получаются, например, если положить постоянными, а функцию положить равной . Тогда равенство (39) принимает вид:

где

и формула (37) дает просто:

Решения вида (44), в некоторых частных случаях, нам уже встречались. Если все числа вещественны, то мы получаем так называемую плоскую волну, которая является простейшим решением волнового уравнения. Может случиться, однако, что среди коэффициентов есть комплексные. Если, например, то мы опять приходим к знакомому нам общему интегралу уравнения Лапласа, который конечно удовлетворяет и волновому уравнению.

Наконец, если вое три коэффициента, будучи комплексными, отличны от нуля и аргументы их различны, то мы подучим существенно новое решение, которое условимся называть в дальнейшем комплексной плоской волной.

На примере плоских волн и гармонических функций легко видеть, что формула (37) иногда может заключать в себе различное содержание. Действительно, для доказательства того, что эта формула представляет собою решение волнового уравнения, мы производили дифференцирование функции но вещественным переменным через посредство вспомогательной функции . Если эта функция при вещественных значениях координат принимает в плоскости комплексного переменного значения, заполняющие некоторую область, то мы должны предположить, что функция дифференцируема в комплексном смысле внутри этой области. В скрытой форме это предположение, как известно, содержит в себе уравнение Лапласа для вещественной и мнимой частей функции Пример этого рода представляют решения:

Если же функция принимает совокупность значений, зависящих от одного вещественного параметра, то есть лежащих на некоторой линии, то уоловие не является необходимым, достаточно дифференцируемости вдоль этой линии два раза.

Такого рода пример представляют собою обычные плоские водны.