12. Уравнение для давления; уравнение энергии.

Если движение безвихревое и внешние силы имеют потенциал, то уравнения Эйлера [уравнения (27), 8] допускают интеграл. Мы должны положить в них

после чего получим

Заменяя в первом члене этого равенства его выражением из уравнения (20), 6, получаем

и интегрируя

Вследствие сделанного нами предположения, что плотность есть функция давления величина есть полный дифференциал. Произвольную функцию можно включить в Особенно простое соотношение получается для стационарного движения несжимаемой жидкости. Тогда уравнение (31) приводится к следующему:

Это уравнение выражает закон сохранения энергии. Левая часть уравнения представляет полную энергию единицы массы (удельную энергию),

как сумму энергии давления кинетической энергии движения и потенциальной энергии V в поле внешних сил. Эта полная энергия не меняется для данной частицы со временем и одинакова для всех частиц (с массой, равной единице).

Впелне аналогичный интеграл может быть получен, как мы сейчас покажем, для стационарного движения, также и при наличии вихрей. Ценность интеграла несколько умаляется здесь тем, что вихревое движение может быть стационарным только при соблюдении некоторых жестких условий (см. дальше 19); впрочем, именно эти движения имеют большой практический интерес. Внешние силы мы, как и прежде, предполагаем имеющими потенциал.

Умножая обе части уравнения Эйлера в их первоначальной форме (27а), 8 скалярно на мы получаем

Лева часть этого уравнения есть субстанциальное изменение В правой части величина

есть конвекционное изменение потенциала, отнесенное к единице массы; аналогичное значение имеет и последний член.

Интегрирование этого уравнения (33) возможно лишь в случае стационарного движения и только вдоль линий тока. Получающийся интеграл

отличается от (32а) тем, что константа С меняется при переходе от одной линии тока к другой.

Полная удельная энергия частицы остается неизменной во времени и одинакова для всех частиц, лежащих на одной и той же линии тока. Две частицы из разных линий тока обладают различными удельными энергиями.

Кроме вышеупомянутого случая безвихревого стационарного движения удельная энергия остается одинаковой во всем поле еще в одном частном случае, который получается следующим образом. Составляя градиент левой части уравнения (32а), мы будем иметь:

Сравнивая это выражение с уравнением Эйлера мы получаем

и отсюда простым преобразованием:

Это условие показывает, что уравнение (32а) с одинаковым значением константы во всем поле имеет место, кроме безвихревого движения, также и в том случае, когда линии тока совпадают с вихревыми линиями. Этот случай

встречается в теории аэропланиого крыла и имеет поэтому важное практическое значение.

Уравнения (32а) и называются уравнениями Бернулли. Умножая на (и изменяя обозначение константы), мы получаем уравнение для давления:

Все слагаемые левой части имеют размерность давления; есть некоторое постоянное давление. Это уравнение показывает, что при прочих равных условиях давление уменьшается с увеличением скорости. Наиболее узкие места трубки (в которых скорость течения наибольшая) являются местами наименьшего давления.

При отсутствии внешних сил уравнение (34) принимает вид:

есть наибольшее возможное давление, соответствующее скорости и называется динамическим давлением. Наибольшая возможная скорость соответствует давлению ; ее величина равна При больших скоростях появляется отрицательное давление, которое приводит к разрыву непрерывного течения и образованию пустот (полостей).

Если внешней силой является только сила тяжести, то направлена вертикально вверх). В таком случае принято, разделив уравнение Бернулли на писать его в виде

в котором все члены имеют размерность длины; величина — называется высотой напора, есть скоростная высота и высота места. Сумма этих трех величин есть величина постоянная вдоль линии тока, равная 20. Уравнение (35) является основой всей гидравлики.

Полученные нами до сих пор законы описывают превращения энергии в различных частных случаях движения. Для получения более общего результата умножим уравнение (33) на и проинтегрируем его по всему объему, занимаемому жидкостью. Для простоты положим V не зависящим от времени. После некоторых преобразований интегралов, причем последний интеграл преобразуется по обобщенной формуле мы получаем

Три первые интеграла берутся по объему, а последний по поверхности, ограничивающей область, занимаемую жидкостью. Значение их следующее. Величина

есть полная кинетическая энергия потока; величина

есть потенциальная энергия жидкости в поле внешних сил; первый интеграл в правой части равен

где есть энергия давления жидкости, вычисленная как работа, затраченная на увеличение давления каждой частицы от нуля до при этом плотность предполагается функцией от давления. Наконец,

есть работа, которую совершают силы давления по поверхности, когда точки поверхности получают смещения

Отсюда мы видим, что уравнение (36) действительно выражает закон сохранения энергии:

Работа, производимая действующим на границе жидкости давлением, при перемещении этой границы идет на увеличение энергии поля тока. Эта энергия слагается из кинетической энергии, потенциальной энергии в поле внешних сил и энергии давления жидкости.

Величину названную выше энергией давления, можно было бы назвать также потенциальной энергией упругого сжатия жидкости и представить ее в виде интеграла:

где величина

есть потенциальная энергия упругого сжатия единицы массы жидкости. Покажем, что с этим значением имеет место приведенное выше соотношение Мы имеем:

и следовательно,

где есть субстанциальная производная от плотности, которая, по определению и в силу уравнения неразрывности (5), 3, равна

Подставляя это в предыдущее уравнение, получим:

что и требовалось доказать.