§ 4. Отображение посредством симметричных оптических приборов

1. Дифференциальное уравнение для лучей, близких к оси.

Перейдем теперь к более подробному изучению траектории луча и соответствующего отображения в среде с осевой симметрией относительно показателя преломления.

Пусть ось симметрии совпадет с осью прямоугольной координатной системы. Если есть расстояние некоторой точки от оси симметрии, то показатель преломления , вследствие осевой симметрии относительно оси в, должен зависеть от т. е.

Так как далее не должно изменять знака при изменении знака радиуса-вектора, то оно является четной функцией. Аналитически это выражается в том, что нечетные проивводные от по обращаются на оси в нуль, вследствие чего разложение функции в ряд по степеням будет содержать только четные степени Итак,

где

Все плоскости, проходящие через ось равноправны, поэтому достаточно рассмотреть какую-нибудь одну из них, принимая при этом переменные за прямоугольные координаты в этой плоскости.

В последующем мы ограничимся рассмотрением случая, когда лучи распространяются вблизи оси. Это условие математически определяется тем, что во всех вычислениях можно пренебречь более высокими, чем первая, степенями расстояния от оси и тангенса угла наклона

Если

где обозначает элемент дуги, то дифференциальное уравнение лучей, согласно § 1 (26), будет иметь вид:

этого выражения мы получим, согласно уравнению (1), следующее дифференциальное уравнение для близких к оси лучей:

Здесь обе функции и представляют собой коэффициент преломления и его вторую производную вдоль оси симметрии. Пусть область изменения показателя преломления заключена между плоскостями которые пересекают ось под прямым углом в точках Эти две плоскости мы будем называть граничными плоскостями. Пусть перед плоскостью для показатель преломления имеет постоянное значение а за плоскостью для постоянное значение Таким образом, вне пространства, ограниченного этими плоскостями, лучи будут прямолинейны.

Чтобы получить уравнения отображения для близких к оси бесконечно малых объектов, мы перейдем посредством подстановки

от уравнения (4) к соответствующему дифференциальному уравнению Риккати. В самом деле, мы получим из уравнений и (4):

и вторично подставляя значение из мы наконец придем к дифференциальному уравнению Риккати

При помощи подстановки (5) можно из общего интеграла дифференциального уравнения (4) получить общий интеграл дифференциального уравнения (6), нричем результат подстановки не зависит от постоянного множителя, на который умножается решение линейного дифференциального уравнения.

Если есть два решения дифференциального уравнения (4), соответствующие начальным условиям

то из того, что общий интеграл уравнения (4) равен следует, что общий интеграл уравнения Риккати, согласно (5), равен

В частности, выражение

представляет собою интеграл, который принимает в точке значение, равное Таким образом, решения дифференциального уравнения Риккати при Помощи проективного преобразования связаны с начальными значениями. Величины связаны соотношением

При этом согласно (5), определяются уравнениями:

Точки, в которых находится объект, мы будем относить к координатной системе началом которой является точка а начало отсчета аналогичной координатной системы в пространстве изображений совпадает с точкой

Пусть положительным направлением обеих систем является направление слева направо. Луч распространяющийся прямолинейно в пространстве объектов и проходящий через точку с координатами и в плоскости определяется уравнением

Следовательно, координата точки пересечения его с осью определяется равенством:

Аналогично в пространстве изображений координата точки пересечения луча с осью будет определяться равенством:

Отсюда мы получим, в связи с уравнениями (11) и (10), выражение, связывающее между собою расстояние объекта и расстояние изображения от соответствующих граничных плоскостей:

Теперь, для того, чтобы вывести соотношение между величиной изображения и величиной объекта мы рассмотрим луч, распространяющийся в пространстве объектов параллельно оси на расстоянии Согласно (7), его уравнение имеет вид

Так как этот луч проходит в пространстве изображений через точку лежащую в плоскости то его уравнение в пространстве изображений будет иметь вид

Отсюда следует, что

Если в это уравнение подставить значение из (14), то величина объекта и величина изображения будут связаны выражением

Из формул (14) и (17) вытекает, что пространство объектов и пространств» изображений связаны центральным проективным отображением в том случае, если для построения изображения пользоваться лучами, близкими к оси. Это следует исключительно из того обстоятельства, что дифференциальное уравнение (4), определяющее траекторию луча, есть однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка.