2. Прямоугольная мембрана.

Рассмотрим сначала мембрану, ограниченную прямоугольником с ребрами и проведем оси координат вдоль ребер этого прямоугольника, ось вдоль ребра , ось у — вдоль ребра Мы будем искать частные решения дифференциального уравнения в виде произведения функции только от х и функции только от у.

Легко убедиться непосредственно, что каждое из выражений:

удовлетворяет дифференциальному уравнению, если постоянные связаны между собой условием

Из этих частных решений только первое обращается в нуль на границах прямоугольника. Для того чтобы оно обращалось в нуль и на двух других граничных линиях должно быть

или

где тип суть целые числа, которые можно считать положительными. Из (12) мы получаем для выражение

Умножая последнее на с, мы получаем все возможные частоты, с которыми может колебаться прямоугольник, придавая тип всевозможные целые положительные значения. Периоды этих колебаний равны

Самый низкий тон мембраны получается при Более высокие тона называются "обертонами". Общий случай колебания мембраны слагается из найденных частных решений в виде ряда

где суть постоянные, которые необходимо определить так, чтобы при мембрана находилась в заданном начальном положении и обладала заданными начальными скоростями, согласно формулам (7):

Следовательно, должно быть

т. е. функции следует разложить в двойные ряды Фурье. Согласно известным формулам, коэффициенты этих рядов равны:

Гарконические обертоны

Будем искать среди простых тонов мембраны тона, гармоничные друг по отношению к другу, т. е., другими словами, такие тона, частоты которых

находятся в рациональном отношении друг к другу.

Пусть суть две такие частоты, соответствующие целым числам причем где целые положительные числа, относительно которых можем считать, что они взаимно простые. Тогда

и, следовательно,

Если не находятся в рациональном отношении друг к другу, то обе части (19) должны обращаться в нуль и, следовательно, должно быть

Будем считать, что взаимно простые. Тогда должно быть:

где I — целое число. Таким образом, получаем ряд гармонических токов с частотами

причем предполагается, что в выражении для числа положительные взаимно простые числа. Каждому такому соответствует ряд (22) гармонических тонов, для которых является "отросительным основным тоном". Самый низкий тон (основной тон мембраны) получается при

Выбирая теперь какую-либо другую пару взаимно простых чисел мы получаем другой ряд возможных гармонических тонов с частотами

и т. д. Если не находятся в рациональном отношении друг к другу, то никакие два тона из различных рядов взаимно не гармоничны.

Иначе обстоит дело в случае, когда находятся в рациональном отношении друг к другу; тогда тона из различных рядов могут быть гармоничными.

Так как любые два тона ряда гармоничны друг с другом, так же как и любые два тона ряда то если какой-либо один тон ряда гармоничен с каким-либо тоном ряда тогда каждый тон ряда будет гармоничен с каждым тоном ряда Такие два ряда мы будем называть гармоничными друг с другом.

Полагая в рассматриваемом теперь случае

целые положительные взаимно простые числа, можно переписать, на основании (19), условие гармоничности рядов в виде

На основании сказанного очевидно, что, разыскивая все ряды гармоничные с данным определенным рядом можно считать, что в числа взаимно простые. Вводя обозначения:

мы получаем из (24) уравнение

Таким образомы, мы пришли к следующей задаче теории чисел: Найти все целочисленные решения неопределенного уравнения где — заданные целые числа. Решение этой задачи упрощается тем, что нам известно одно решение (26):

Для нахождения всех простых тонов мембраны одинакового с данным периода надо найти все целые числа при которых выражение

имеет одно и то же целочисленное значение [ суть целые числа, определяющиеся из (23)], или, как Говорят в теории чисел, надо найти все представления числа у квадратичной формой Число таких представлений всегда конечно, так как существует только конечное число целых чисел, для которых целое положительное число не превосходит заданной границы. Мы не будем здесь заниматься подробнее этой задачей теории чисел. Желающего ознакомиться с нею подробней мы отошлем к четвертому разделу лекций Дирихле и Дедекинда по теории чисел. Здесь же Мы приведем несколько простых примеров в частном случае квадратной мембраны, когда

Узловые линии. Простое колебание прямоугольной мембраны Имеет вид:

Соответствующим выбором начальной точки отсчета времени мы можем всегда привести это выражение к виду

где С есть амплитуда колебаний. Когда есть целое, кратное то т. е. все точки мембраны одновременно проходят через положение равновесия. Далее при всех зпачениях если х или у целые кратные:

Мы имеем, следовательно, две системы прямых линий, параллельных сторонам, прямоугольника, которые при колебании мембраны остаются неподвижными. Подобные линии называются "узловыми линиями". Они разделяют прямоугольную мембрану на прямоугольных полей с длинами сторон и Смещения в двух соседних полях в каждый момент времени имеют противоположный знак. Если, в случае сложного колебания, представляемого суммой вида

имеются узловые линии, т. е. линии, на которых смещение все время равно нулю, то множитель зависящий от времени, должен быть во всех членах этой суммы один и тот же. Иначе говоря, период колебаний во всех членах суммы должен быть одинаковый. Это может быть, как мы видели, только тогда, если находятся в рациональном отношении друг к другу. Уравнение узловых линий при этом принимает вид

где сумма распространяется на все те значения то и для которых выражения имеет одинаковое значение 7. Здесь обозначают взаимно простые числа, так что

Так как каждый член суммы можно умножить на любой произвольный множитель С, то уравнение (28) представляет собой большое количество возможных видов узловых линий, или, как их называют еще, "фигур звучания", изучение которых, однако, не очень просто. Для примера приведем некоторые фигуры (рис. 21), получающиеся для квадрата с ребрами При чему соответствует мы получаем два возможных решения:

и

Комбинируя их с произвольными коэффициентами, получаем:

или

Угловыми линиями являются кривые

или, после элементарных преобразований,

Эти угловые линии изображены на рис. 21 при Если вместо этих значений взять обратные величины, то

меняются ролями. Все изображенные кривые проходят черев точки для которых обе части уравнения узловой линии обращаются в нуль.