ГЛАВА XI. ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТЕЙ С ТРЕНИЕМ

§ 1. Вывод основных уравнений

В предыдущей главе была рассмотрена теория жидкостей, свободных от трения. Эта теория имеет то преимущество, что она сравнительно проста с математической точки зрения. С другой стороны, для всех действительных жидкостей, смотря по характеру их движения, более или менее ясно заметно действие внутреннего трения. Только в задачах о равновесии влияние внутреннего трения совершенно исчезает.

В то время как на тело, движущееся прямолинейно и равномерно в идеальной жидкости, не действуют со стороны последней никакие силы, даже самое маленькое трение вызывает появление позади движущегося тела вихрей и вместе с ними появление как сопротивления, так и подъемной силы. Это и намечает важнейшую задачу теории трения. Но вследствие больших математических трудностей эта задача до сих пор решена только в первом приближении.

Рис. 44.

1. Теорема о напряжениях.

Подробный анализ напряжений содержится в § 2, гл. VII. Поэтому мы можем здесь ограничиться несколькими дополнительными замечаниями.

Чтобы исследовать напряжение в точке О жидкости, представим себе прямоугольную координатную систему с началом в указанной точке. Пусть А будет какая-нибудь точка на оси х, В на оси у и С на оси , и пусть отрезки будут очень малы.

Рассмотрим количество жидкости (рис. 44), находящейся в некоторый момент времени внутри тетраэдра Мы будем считать, что действие окружающей жидкости можно заменить поверхностными силами. Например, через элемент поверхности окружающая жидкость действует на наше количество жидкости с силой при чем означает площадь направление внешней нормали к указанному элементу поверхности. Таким образом, напряжение равно силе на единицу площади.

Через плоскость жидкость с правой стороны, где х положительно, действует на жидкость с левой стороны с некоторым напряжением, которое назовем По ньютонову принципу равенства действия и противодействия жидкость слева от действует на жидкость справа от этой плоскости с силой

Каким образом зависит от направления нормали? Чтобы ответить на этот вопрос, напишем уравнения движения нашего малого количества жидкости.

Если его масса равна а ускорение центра тяжести то должно равняться равнодействующей всех сил. Эти силы будут частью объемные (например, сила тяжести), которые можно обозначить через частью поверхностные силы, упомянутые выше. Уравнение движения центра тяжести будет поэтому:

Но элемент поверхности есть малая величина второго порядка (того же, как а элемент массы малая величина третьего порядка (того же, как если считать длины ребер рассматриваемого тетраэдра малыми первого порядка. Мы разделим обе части ураврения на и заметим, что при беспредельном уменьшении тетраэдра частное стремится к нулю. Мы получим таким образом уравнение

Это уравнение совпадает с соответствующим уравнением теории упругости (стр. 226 ур-ние 1). Там рассматривалось покоящееся упругое тело, здесь — движущаяся ускоренно жидкость. Но в приведенном выше анализе тензора напряжений действие ускорения выпало.

Объемные силы выпадают, по тем же основаниям, также и в доказательстве симметрии тензора напряжений (стр. 228 и след.). Поэтому все исследование тензора напряжений, в § 2, гл. VII (стр. 225 до 231) остается в силе без всяких изменений и для жидкости с трением.

Для покоящейся жидкости это уравнение можно упростить. Перпендикулярно к площадке действует тогда только гидростатическое давление Так как оно направлено противоположно вектору нормали сила давления будет равна Следовательно, и мы можем уравнение (1) заменить следующим, более простым