§ 4. О касательных преобразованиях (Дополнение редактора)

1. Если рассматривать» переменных как функции других неременных заданные уравнениями вида

где функции определены для некоторой области изменения то уравнения (1) определят преобразование переменных к переменным Решение уравнений (1) относительно переменных определит преобразование, обратное первому.

Конечная или бесконечная последовательность преобразований может обладать тем свойством, что каждые два преобразования из этой последовательности, выполненные одно за другим, определяют преобразование, принадлежащее к рассматриваемой последовательности. В этом случае говорят, что преобразования образуют группу. Если внутри группы преобразований существует последовательность преобразований, сама обладающая свойствами группы, то эта последовательность образует подгруппу данной группы.

2. Пусть в трехмерном пространстве означаю координаты точек некотороййоверхности или кривой. Введем три величины х, у, У, определив как некоторые функции координат

Переменные в? можно рассматривать как координаты точек другой поверхности или кривой, причем каждая точка второй поверхности или кривой соответствует некоторой точке первой поверхности или кривой. Мы говорим, что (2) определяет точечное преобразование первого геометрического места во второе. Не трудно проверить, что точечное преобразование не изменяет свойств касания, так что две касательные кривые или поверхности преобразуются в касательные же кривые или поверхности в соответственных точках.

3. Пусть теперь в , у, в обозначают координаты точки некоторой поверхности, угловые коэффициенты касательной плоскости к этой поверхности в точке так что пять переменных определяют элемент поверхности. Положим далее, что координаты точки и угловые коэффициенты касательной плоскости поверхности, полученной преобразованием первой поверхности, причем все переменные являются функциями, вообще говоря, всех переменных

Очевидно, что не при всяких произвольно заданных функциях в результате преобразования будут определять элемент преобразованной поверхности. Найдем те условия, которым должны удовлетворять пять функций , чтобы результат преобразования элемента поверхности определял тоже элемент поверхности. Для этого очевидно надо, чтобы равенство

имело место одновременно с равенством

откуда

где произвольная функция переменных

Приведенное выше рассуждение можно легко обобщить на многомерное пространство. Преобразование в будет преобразованием переменных К переменным при котором будет иметь место соотношение:

Это общее касательное преобразование Софуса Ли.

4. Наряду с общим касательным преобразованием можно рассматривать его специальные виды. Особое значение, благодаря его применению к преобразованию уравнений динамики, имеет касательное преобразование, в котором переменных преобразуются к переменным

при посредстве уравнений такого вида, что дифференциальная форма

будучи представлена как функция переменных и их дифференциалов, является полным дифференциалом тгекоторой функции этих переменных, т. е.

Надлежащим выбором функции последнему равенству можно придать иную форму. Принимая во внимание, что все являются функциями переменных положим

Тогда

и после подстановки получаем равенство:

являющееся другой формой условия того, что преобразование касательное.

В частном случае, если то по терминологии С. Ли преобразование называется однородным касательным.

Если в преобразовании 2» переменных переменные являются функциями только переменных остальные же переменные являются функциями всех переменных то преобразование называется обобщенным точечным преобразованием, причем и уравнений, связывающих определяют точечное преобразование в том значении термина, какой ему был дан выше.

Наконец, если считать все функциями одной независимой переменной то можно поставить вопрос о таком преобразовании к переменным при котором

и сохраняются характерные свойства касательного преобразования

5. Остановимся подробнее на касательном преобразовании переменных, для которых в дальнейшем мы будем пользоваться обозначениями Переменные, получающиеся в результате преобразования, мы будем обозначать

Докажем следующую, основную для всей теории, теорему. Если функции переменных тождественно удовлетворяющие соотношению

где - функция тех же переменных то эти функции независимы и удовлетворяют соотношениям

Здесь знак обозначает как обычно скобки Пуассона, т. е. выражение, составленное по схеме:

Пусть и 8 знаки независимых друг от друга приращений переменных тогда мы можем написать:

и аналогично

Дифференцируем (8) и давая переменным приращения, определяемые соответственно Замечая, что после вычитания одного из другого получим:

Выразим, что (11) должно иметь место при любых приращениях если в левой части вместо подставить их выражения из (102). Выполняя эту подстановку и приравнивая коэффициенты при получим:

Системы уравнений (10,) и (12) должны быть эквивалентны; следовательно, если в (12) подставить значения из (10,) или, наоборот, в подставить значения из (12), то мы получим тождества. Поэтому, если через обозначить определитель из коэффициентов при в (10), а через определитель из коэфициентов при в (12), то, в силу известного свойства линейных подстановок, получим

Но

и нетрудно видеть, что надлежащей перестановкой отрок и столбцов второй определитель преобразуется в первый, а тогда

Но определитель является якобианом функций ; следовательно, их независимость доказана.

Для доказательства второй части теоремы подставляем в формулу

очевидно имеющую место для любой функции переменных вместо их значения из (12). Пользуясь обозначением скобок Пуассона, мы получим:

Подставляя теперь вместо и последовательно функции и и замечая, что, в силу доказанной независимости этих функций, их дифференциалы произвольны, мы получим:

т. е. теорема доказана вполне 1).

Для случая общего касательного преобразования, определенного формулой (5), имеет место аналогичная теорема с тою разницей, что соотношения, которым должны удовлетворять функции будут:

Здесь выражения, обозначенные символом образуются по той же схеме как и скобки Пуассона, с тою разницей, что производные — должны быть заменены производными

6. Выше мы назвали однородным касательным преобразованием преобразование, определяемое уравнением:

Если помножить правую и левую части этого уравнения На некоторое число и, то результат этой операции можно истолковать как появление у всех функций одного и того же множителя и при умножения на число и всех переменных Это — свойство однородных функций первой степени. Следовательно, в рассматриваемом преобразовании должны быть однородными функциями первой степени переменных при этом не обязательно целыми. Предположим теперь, что они не только однородные, но и целые, а следовательно, линейные функции этих переменных. Тогда можно нависать

Подставляя и приравнивая в обеих частях коэффициенты при получим

Отсюда видно, что являются функциями только и притом

т. е. это преобразование принадлежит к типу обобщенных точечных преобразований. Преобразование этого рода можно получить, задав произвольно соотношений между переменными и определяя из уравнений:

7. Рассмотрим еще один вид касательного преобразования, имеющего большое значение в применении к уравнениям динамики, именно так называемое бесконечно малое касательное преобразование. Положим, что преобразование бесконечно мало изменяет переменные тогда его можно представить под видом

где произвольная бесконечно малая постоянная, функции переменных Очевидно не могут быть взяты произвольно, поэтому найдем условия, которым они должны удовлетворять, чтобы преобразование было касательным. Подставляя в мы получим

или, делал приведение подобных членов и отбрасывая члены, содержащие

Отсюда видно, что где произвольная функция переменных Итак, для определения и мы имеем

или

или, наконец:

Отсюда

и формулы (16), определяющие преобразование, принимают вид:

где — произвольная функция переменных произвольная бесконечно малая величина, не зависящая от

Найдем с точностью до величин первого порядка малости изменение какой-нибудь функции II переменных в результате ее преобразования к новым неременным:

или обратно

8. Рассмотрим, наконец, тот случай преобразования, когда изменяется и независимая переменная функциями которой являются переменные

Так как рассматриваемый нами вид преобразования по самой сути дела требует четного числа переменных, то вводим дополнительную переменную относя ее к группе переменных тогда как отнесем к группе переменных Теперь вся система переменных будет

В соответствии с этим рассматриваем систему функций этих переменных

выбирая их под условием, чтобы вся совокупность переменных определяла касательное преобразование, т. е. чтобы было выполнено условие (8), которое в данном случае примет вид

или равносильные ему условия, выраженные при помощи скобок Пуассона (82), где однако надо давать значения а под подразумевать соответственно и Этому определению равносильно другое определение: преобразование определяется уравнением (7) при условии существования трех функций которые совместно с (7) обращают (19) в тождество.

9. Рассмотрим несколько примеров касательных преобразований.

1. Пусть Рассмотрим преобразование, определяемое уравнениями:

Прежде всего замечаем, что переход от определяется аналогичными формулами:

Далее, составляя выражение мы непосредственно убеждаемся, что преобразование является касательным, причем Следовательно, мы имеем одновременно:

и

Это преобразование обладает еще одним характерным свойством. Обозначим через и В., соответственно и так что очевидно Тогда мы можем написать:

Подставляя вместо их выражения через переменные получим:

откуда

Обозначая через 8 определитель, составленный из коэффициентов и через определитель, составленный из коэффициентов через соответствующие миноры этих определителей, мы получим:

Рассмотренное преобразование называется преобразованием Лежандра и в случае трехмерного пространства в обычных обозначениях характеризуется формулами:

2. Найти постоянные так, чтобы преобразование

было касательным.

Составляем выражение

Это выражение должно быть полным дифференциалом, а тогда производная по коэффициента при должна равняться производной по коэффициента при т. е.

Отсюда

и, следовательно, Итак мы получаем преобразование:

впервые примененное Пуанкаре в задачах небесной механики.

3. Зададим выражение и будем искать при условии получить касательное преобразование. Положим

Заметим теперь же, что из этого равенства следует равенство совершенно того же вида для выражения через именно

Для разыскания вида функций воспользуемся уравнением (60, положив еще в нем т. е. уравнением:

Так как зависят только от (но не от то можно написать:

Сравнивая коэффициенты при получим

Для удобства вычисления положим

тогда

Умножая на и суммируя, находим

где через обозначена сумма .

Уравнения (21) и (22) определяют касательное преобразование. Мы уже отметили взаимность в формулах (21) и (21), определяющих зависимость между такая же взаимность существует и в формулах для Положим

тогда

Далее имеем из (22)

и потому

Это преобразование было впервые применено Леви-Чивита в тех задачах небесной механики, где уравнения движения представляют особенности в силу возможности неограниченного сближения тел.

10. Нам остается рассмотреть вопрос о применении касательных преобразований к каноническим уравнениям. Предварительно докажем одну вспомогательную теорему.

Пусть две какие-либо функции переменных Обозначим через результат преобразования этих функций к переменным которые вместе с определяют какое-либо касательное преобразование, тогда будет иметь место равенство:

в котором значки показывают, по каким перемепным берутся производные.

Для доказательства заметим, что если две функции зависят от неременных через посредство каких-либо функций как не трудно показать, имеет место равенство:

Если за функции взять функций переменных то в силу свойств касательного преобразования скобки тождественно обратятся в нуль, в нуль же обратятся и скобки для для равных же значков последние скобки обратятся в единицу. Поэтому мы получим:

Но правая часть есть нечто иное как скобка следовательно равенство (23) доказано.

11. Пусть мы имеем каноническую систему уравнений

где — функция Докажем, что если мы преобразуем эти уравнения к переменным которые вместе с определяют какое-либо касательное преобразование, то система преобразуется в каноническую же систему:

где обозначает результат преобразования фуькции к переменным

Для доказательства введем произвольную функцию переменных помножив уравнения (25) почленно на и сложим их. Мы получим:

или

Преобразуем полученное уравнение к переменным Если через обозначить результат преобразования то левая часть, будучи полной производной, примет вид что касается правой части, то, на основании доказанной выше теоремы, она преобразуется в Итак:

справедливо для любой функции Будем последовательно подставлять вместо функции В силу их независимости все производные, кроме одной для каждой функции, будут обращаться в нуль, и мы получим уравнения (25).

Доказательство теоремы, обратной доказанной: если некоторое преобразование переменных приводит каноническую систему к канонической же, то это преобразование касательное, — не представляет никаких трудностей.

12. Пусть попрежнему нам дана система канонических уравнений:

где зависит от Рассмотрим каноническое преобразование с одновременным преобразованием всех переменных, включая независимую переменную Выведем предварительно одно соотношение, которым мы воспользуемся ниже. Составим полную производную

Теперь, чтобы иметь четное число переменных, подобно тому как это было сделано в , введем еще переменную так что полная система переменных будет

Пусть некоторая функция этих переменных. Составим при помощи нее систему канонических уравнений. Мы получим

Последнее, из уравнений первой группы показывает, что может входить в только в виде слагаемого. Возьмем в качестве другого слагаемого функцию так что получим

Обратимся теперь к последнему уравнению, оно дает или, в силу соотношения (28):

откуда Мы можем эту постоянную считать равной нулю. Теперь видно, что введенная нами система при указанном выборе функции тождественна с данной системой.

Любое касательное преобразование переменных к переменным преобразует систему (29) к канонической же системе. Пусть результат этого преобразования будет

Последнее из уравнений первой группы показывает, что входит в в виде слагаемого, так что Далее, так как равенство (28) очевидно имеет место и для функции то мы имеем

откуда

Теперь, так как переменные независимы, остальные уравнения принимают вид:

это и есть преобразованная система. Что касается функции то она определяется следующим образом: когда преобразование от переменных к переменным выбрано, подставляем в значения старых переменных в функциях новых, в результате получим Приравнивая эту функцию какой-либо постоянной, в частности нулю, решаем полученное уравнение относительно так чтобы оно приняло вид:

тогда определит искомую функцию.

13. В 7 мы рассматривали бесконечно малое касательное преобразование, теперь мы показали, что характерным свойством всякого касательного преобразования, а следовательно, и бесконечно малого, является сохранение в результате такого преобразования системой канонических уравнений канонической формы. Если сюда присоединить еще, что касательные преобразования образуют группу, то мы сможем дать совершенно новую интерпретацию природе движения динамической системы, определяемого уравнениями вида:

Если бесконечно малую постоянную в уравнениях (16) рассматривать как бесконечно малое приращение времени то эти уравнения определят значения переменных в момент по их значениям в момент А так как переменные и удовлетворяют уравнениям

то мы можем сказать, что поведение динамической системы во время движения можно рассматривать как бесконечный ряд выполняющихся последовательно одно за другим бесконечно малых касательных преобразований. Отсюда следует, что если через обозначить значения переменных в некоторый определенный момент времени то уравнения, определяющие в функциях

и являющиеся решением системы дифференциальных уравнений движения, будут определять некоторое касательное преобразование.

Рассмотрим движение тяжелой материальной точки, брошенной под некоторым углом к горизонту, не принимая во внимание сопротивления воздуха. В прямолинейных прямоугольных координатах мы получим для выражение:

и система уравнений будет,

Обозначая через значения для мы получим решение в форме:

Нетрудно убедиться, что эти формулы определяют касательное преобразование от переменных к переменным соответствующее функции Здесь время надо рассматривать проста как параметр, входящий в уравнения, определяющие преобразование.