7. Функциональное уравнение для свободной границы струи; перманентные волны.

Если нам известно положение и форма свободной границы плоского потока тяжелой жидкости, то теория Блазиуса позволяет нам найти комплексный потенциал потока, а также твердую часть его границы. Если же мы, наоборот, хотим определить свободную границу потока по заданной твердой части его границы, то для этого необходимо определить комплексный потенциал так, чтобы он удовлетворял известным условиям на твердой границе и, кроме того, удовлетворял определенному функционально уравнению, характеризующему некоторую линию тока или ее часть как свободную границу.

Из уравнения Бернулли [(35), 12, § 1] следует, что на свободной границе, на которой давление постоянно, должно быть

Дифференцируя это выражение вдоль линии тока по и применяя "обратные формулы" (4), 1, § 3, мы получим:

Это уравнение подчиняет комплексную скорость

как функцию от комплексного потенциала определенному условию на линии тока.

Леви-Чивита пользуется этим функциональным уравнением для изучения периодических перманентных волн. Под перманентной волной мы

понимаем волну, которая распространяется без изменения формы своей поверхности. Если распространение волны происходит со скоростью с в направлении отрицательной оси х, то, накладывая поступательное движение с той же скоростью с в направлении положительной оси х, мы можем сделать движение стационарным. Граничная линия тока бегущей волны становится при этом неизменной свободной границей струи; на этой границе комплексная скорость и потенциал связаны функциональным уравнением (4). Комплексный потенциал их можно тогда искать в виде

Здесь есть потенциал поступательного движения, а есть потенциал возмущения, налагаемого на поступательное движение волнением. Величину можно также рассматривать как потенциал собственно волнового движения, отнесенного к координатной системе, перемещающейся вместе с волной. Эта величина есть ограниченная функция во всем поле тока.

Если волна распространяется в канале конечной глубины и если суть две линии тока, идущие по свободной поверхности волны и по дну канала, то

есть глубина канала. Проведя ось х вдоль канала и замечая, что на дне комплексный потенциал и комплексная скорость вещественны, мы можем, по принципу отражения Шварца, аналитически продолжить эти функции под вещественную ось в отрицательную полуплоскость.

Для периодической волны длины X скорость есть периодическая функция с вещественным периодом X, тогда как потенциал удовлетворяет уравнению

т. е. не периодичен. Не представляет, однако, затруднений ввести вместо новую переменную С, которая была бы периодической функцией от с периодом Эта переменная определяется уравнением

Волновая струя изображается в плоскости со полосой, ограниченной прямою осью К этой полосе примыкает, как аналитическое продолжение, ее зеркальное изображение. Отображая плоскость на плоскость С и вводя в плоскости С полярные координаты , определяемые формулой

мы получаем уравнения преобразования

В плоскости С волновая струя изобразится кольцевой областью, ограниченной кругом радиуса соответствующим свободной границе струи, и единичным кругом, соответствующим дну канала. К этому добавляется, как аналитическое продолжение, та кольцевая область, которая получается отражением исходной в единичном круге. Во всей кольцевой области скорость есть однозначная регулярная функция от С

Таким образом, определение перманентных волн в канале конечной глубины сводится к нахождению такой аналитической функции которая

a) регулярна в кольцевой области между кругами радиусов

b) вещественна на единичном круге,

c) на круге радиуса удовлетворяет функциональному уравнению (19), которое, если выразить черев С, принимает вид:

Разложим в ряд Лорана. Предполагая, что движения отдельных частиц жидкости весьма малы по сравнению с общим поступательным движением, мы можем ограничиться начальными членами этого ряда. Приближенное решение будет тогда иметь вид

где с есть малый параметр. Это решение совпадает с так называемыми волнами Эйри. Подставляя в функциональное уравнение, мы найдем, что оно удовлетворится, если будет выполнено следующее соотношение между константами

Вводя вместо В глубину канала мы, получим

Отсюда видно, что при данной глубине скорость с с возрастанием длины волны увеличивается и стремится в предельному значению

которое, между прочим, имеет место для волн прилива и отлива. При бесконечно большой глубине мы имеем:

Если выразить в уравнении (23) при помощи (21) величину С через , то интегрирование уравнения (3), 1, § 3

дает, в качестве первого приближения, потенциал скоростей волновой струи в функции от

Переход от волновой струи в бегущей волне Эйри будет сделан в 10, § 3, и получаемое движение будет обсуждено там же. То, что свободная граница волновой струи есть в первом приближении синусоида, непосредственно явствует из уравнения (26).

Периодические волны в бесконечно глубоких каналах могут быть разобраны подобно периодическим волнам в каналах конечной глубины. Функционально-теоретическая задача при этом несколько упрощается. Если обозначить через

значение функции тока на свободной границе, то искомая величина должна быть аналитической функцией от С, которая

a) регулярна внутри единичного круга,

b) в начале координат вещественна и равна с,

c) на единичном круге удовлетворяет функциональному уравнению.

Леви-Чивита удалось, после соответствующего преобразования функционального уравнения, найти такие функции в виде рядов, сходимость которых обеспечена, и тем самым получить волны конечной амплитуды в каналах неограниченной глубины.