§ 3. Квазистационарные волны в катушках

1. Волновые уравнения.

Распространение волн через катушки есть задача для полного решения которой необходимо точное вычисление поля около катушки; более наглядные результаты дает однако упрощенное вычислениеа) (рис. 84), аналогичное тому, которое мы проделали в § 2.

Пусть ось катушки направлена по оси х, а сама катушка представляет собой простую цилиндрическую винтовую линию с малой величиной хода. Обратный проводник пусть для синметрии идет по оси катушки; предположим, что он -землен. Этот обратный проводник, так же как и другие удаленные цилиндрически симметричные проводники, мы для краткости будем называть "землей".

Рис. 84.

В воздушной среде внутри и вне катушки имеется электрическое поле и мы будем рассматривать радиальную составляющую этого поля и продольную составляющую Далее, ток, протекающий по катушке, создает магнитное поле о котором мы сделаем очевидное предположение, что опо лежит в радиальных плоскостях, т. е. что нужно рассматривать только его составляющие При этом предположении, согласно закону индукции Фарадея, электрическое поле в радиальных плоскостях не имеет вихрей, и поэтому его можно вычислять как электростатическое. Под напряженней в некоторой точкекатушки мы будем подразумевать интеграл который взят по некоторому пути, лежащему в радиальной плоскости и идущему от земли до этой точки катушки.

На поверхности проводника, образующего катушку, появляются электрические заряды, которые мы тоже разложим на две части, соответственно общему выражению гл. XV, § 1, 2 для плотности объемного заряда в воздухе

Пусть, следовательно, заряд катушки на единицу длины оси х равен:

Первую часть, которая, согласно (1), соответствует составляющей поля мы будем вычислять таким образом, как если бы объем, занятый катушкой, представлял собой круговой цилиндр с внутренним радиусом а и внешним радиусом связь между и средним напряжением при этом будет

приниматься как и в § 2, 1, такой, как если бы напряжение было постоянный вдоль цилиндра. Следовательно

где К означает емкость на единицу длины оси

Вторую часть заряда проще всего вычислить так, как если бы цилиндрический объем катушки был непрерывно заполнен продольным полем Заряд на единицу длины при этом получается посредством интегрирования по кольцеобразному поперечному сечению между по формуле (1):

где черточка означает среднее значение. Так как по предположению поле в радиальных плоскостях не имеет вихрей, то здесь

Согласно (4) и (5), мы можем, следовательно, наииса.

Величину С мы назовем "емкостью обмотки" на единицу длины оси х. Окончательно мы получим:

Эта формула заменяет уравнение (7) в § 2, 1.

Что касается уравнений (6) и (8) § 2, то они в той же самой форме имеют место и для этой задачи. Необходимо только принять во внимание, что коэффициент самоиндукции соответствует теперь магнитному потоку, пересекающему перпендикулярно плоскость катушки по поверхности следовательно, не связан с емкостью тем соотношением, которое определялось формулой (10). Если а означает угол наклона витков, то как емкость К, так и коэффициент самоиндукции возрастут примерно в отношении а по сравнению с тем, как если бы они определялись этим соотношением, т. е. по порядку величины мы можем писать:

также надо считать на единицу длины оси х, так же как и сопротивление которым мы однако для простоты пренебрежем. При этом мы нолучим следующие уравнения:

Следовательно, по (2)

Формулы (8) и (9) определяют распространение волны в катушке.