§ 4. Граничная задача колеблющейся мембраны как задача вариационного исчисления

1. Минимальная задача для первого характеристического числа.

Мы перейдем теперь к изложению методов вариационного исчисления в применении к задаче колебания мембраны. Для этого надо сформулировать нашу задачу интегрирования дифференциального уравнения

при граничном условии

как вариационную задачу. Рассмотрим сначала решение нашего дифференциального уравнения, соответствующее наименьшему характеристическому числу, и покажем, что это решение есть в то же время решение следующей вариационной задачи.

Среди всех непрерывных и кусочно непрерывно дифференцируемых функций, обращающихся в нуль на границе и удовлетворяющих добавочному условию

найти ту, которая сообщает минимальное значение интегралу

Для решения названной задачи мы применим классический метод вариацианного исчисления. Положим, что есть решение нашей минимальной задачи. Рассмотрим наряду с совокупность функций

близких к Функции и 4 выбираются произвольно, но должны быть дифференцируемы и удовлетворять условиям

на границе.

При следующих вычислениях мы их будем считать выбранными определенным образом. Интеграл, который должен быть минимальным, является некоторой функцией от

так же как и интеграл

Наша минимальная задача требует, чтобы функция принимала добавочном условии минимальное значение, когда при и нами уже выбраны, остаются переменными лишь и , и мы имеем обычную задачу на нахождение минимума некоторой функции с добавочным условием Если минимум получается при то при должно быть

неопределенный множитель Лагранжа), т. е.

На границе обращаются в нуль, и поэтому интегралы в левой части [см. § 3, (47)] равны

Наше минимальное условие принимает поэтому вид:

Эти условия должны выполняться при любом выборе Отсюда следует, что

Мы видим, следовательно, что наша минимальная задача совпадает с граничной задачей колеблющейся мембраны. Минимальное значение интеграла (см. (47) § 3) равно

так как на границе Но и значит

Мы видим, что характеристическое число нашего дифференциального уравнения получается непосредствено как минимальное значение интеграла, минимум которого мы искали.

В примененном здесь приеме вывода мы представили соседние с функции в виде а не просто в виде так как этом последнем случае при произвольном выборе о добавочное условие удовлетворялось бы только одним значением 5, так что по нельзя было бы дифференцировать.

Колебания свободной мембраны. Мы можем еще поставить вопрос: каково решение нашей вариационной задачи, если мы отбрасываем

условие, что на границе. Ход вычисления сначала такой же, как и выше, и мы получаем минимальное условие в виде

(и аналогично для но при следующих теперь преобразованиях интегрированием по частям появляется один контурный интеграл, ибо мы отбросили граничное условие и тем самым граничные условия Производя вычисления, получаем вместо формул (11)

или

здесь совершенно произвольны. Выбирая их, в частности, так, чтобы они на границе обращались в нудь, мы получаем, так же как и выше, внутри области интегрирования дифференциальное уравнение

Интеграл в левой части, следовательно, во всех случаях должен равняться нулю. То же самое должно быть и для контурного интеграла в правой части. Вследствие произвольности это очевидно может быть только, если на границе:

Значение минимального интеграла в этом случае также равно характеристичеекому числу. Физически это соответствует случаю колебания мембраны с незакрепленной границей. Сила натягивающая мембрану, действует при этом и во время движения нормально граничному контуру, параллельно плоскости равновесного положения мембраны.