4. Уравнения движении Эйлера.

Если мы выразим импульсы черёз координаты положения и скорости, то мы получим, вставляя их в (13), дифференциальные уравнения движения твердого тела. Мы должны, следовательно, для вставить в (12) выражение, получающееся из (9), заменив повсюду перемещения скоростями. Тогда мы получим:

где представляет скорость начала системы координат, связанной с телом. В таком случае, согласно (12) и (15), если мы введем вектор положения центра тяжести посредством соотношения мы получим;

Если мы введем единичный тензор и определим тензор посредством соотношения:

то можно написать просто:

Если теперь мы перейдем от отдельных материальных точек та к непрерывному распределению масс, заполняющих пространство с массой в элементарном объеме, то сумма в уравнении (17) перейдет в интеграл. Если кроме того мы воспользуемся диадой Яумана по формуле (7), то формула (17) примет вид формулы (8).

Компоненты "диады момептов инерции" будут:

Если в дальнейшем мы будем принимать центр инерции за начало системы координат, неизменно связанной с телом, то будет равно нулю, а и будет скоростью центра тяжести. Если теперь мы обозначим составляющие момента количества движения через а компоненты диады инерции через то, в силу (5, из (18) получим:

Система осей может быть выбрана, по крайней мере, одним способом, так что компоненты для обращаются в нуль.

Такую систему мы назовем "главными осями инерции". При этом остаются только составляющие Мы положим тогда и назовем его "главным моментом инерции" относительно оси Мы имеем:

Если мы хотим вычислить входящую в уравнения (13) производную по времени от момента количества движения относительно неподвижной системы осей, то мы должны принять в расчет, что представляют собою составляющие изменения со временем относительно системы, связанной с телом, которая теперь может совпадать с системой главных осей инерции. Применяя (4) к (13), мы получим:

Если разложить на составляющие, то на основании (20) мы получим:

Уравнения (22) навиваются "уравнениями Эйлера" для движения твердого тела. К ним прибавляются уравнения, получающиеся из первого уравнения (13), если ввести в него согласно (16), (так как Если мы введем составляющие скорости центра инерции относительно неподвижных осей, то мы получим:

Уравнения (22), (23) образуют вместе с "кинематическими дифференциальными уравнениями" (8) систему девяти совокупных дифференциальных уравнений первого порядка для определения девяти величин как функций от времени. При этом, конечно, предполагается, что составляющие сил так же, как и заданы как функции этих величин и их первых производных.

Различие в форме уравнений (23) и (22) зависит только от того, что мы ввели составляющие и относительно неподвижной в пространстве системы. Если бы мы ввели составляющие вдоль главных осей инерции, то необходимо было бы первое уравнение (13) написать, согласно (4), в виде:

откуда тогда вследствие соотношения вытекало бы, если разложить на составляющие:

При этом представляют составляющие равнодействующей силы относительно главных осей инерции.