4. Связь с вариационным исчислением.

Если мы введем интеграл:

то, в силу основных теорем вариационного исчисления, уравнения движения в форме (30) являются условиями того, чтобы равнялось нулю для любой вариации координат какого-либо их решения. При этом представляют собой вариации при постоянном Однако можно определить еще более общее изменение движения, если расчленить представление движения на геометрическую форму траектории и его течение во времени. Первая из них определяется тем, что координат выражаются как функции произвольного параметра и; что касается течения во времени, то оно определяется тем, что время выражается как функция того же самого и. Введем в таком случае в I этот параметр как независимую переменную. Если обозначать штрихом дифференцирование по и, так что:

то

где заданные значения Рассмотрим семейство функций

и положим

Тогда вычисления мы можем применить обычные приемы вариационного исчисления; однако, при этом необходимо иметь в виду, что у нас теперь имеется функция независимой переменной и что в качестве подинтегральной функции у нас фигурирует Полученная таким образом вариация соответствует такому изменению движения, при котором происходит не изменение при постоянной t, но при каждом заданном значении параметра и изменяются все величины Вариации соответствуют изменению геометрического вида траектории, а соответствует изменению течения движения во времени.

Выполняем вычисления полностью, предполагая, что не содержит явно:

или, замечая, что

и группируя несколько иначе члены

Замечая, что

мы можем частично выполнить интегрирование в первом интеграле, кроме того выполняем интегрирование по частям во втором; интеграле. В результате получим:

Переписывая, наконец

в виде

и умножая обе части на , мы получим:

где

Если есть функция Лагранжа механической системы (29), то согласно (26), (28):

Если вривал -мерного пространства, а из которой исходит вариация, является решением: уравнении движения (30), то в силу (38), (29), (7):

Если, наоборот, предположить, что при заданной системе функций при любых значениях вариаций, причем ограничены только тем условием, что они равны нулю на границах интегрирования то та формулы (36) вытекает, вследствие равенства нулю проинтегрированных членов, что коэффициенты при вариациях должны равняться нулю. Отсюда вытекают уравнения движения (9) и кроме того т. е., согласно (38), унтеграл энергии.

Утверждение понимаемое в установленном смысле, называют принципом Гамильтона.

Так как в предыдущих рассуждениях время не играет особой роли по сравнению с координатами то с помощью этого принципа можно преобразовать уравнения движения (9) в дифференциальные уравнения для функций Если ввести обозначения:

то для однородного квадратичного следовательно, для склерономных координат

и поэтому;

При этом вариации нужно производить так, чтобы каждое на границах, везде - равнялись нулю. Так как формула (36) справедлива также и в том влучае, если мы положим то формулу (41) можно переписать в виде:

Вследствие произвольности следует:

Следовательно, согласно уравнениям (43) и (44)

Отсюда, с помощью (24), (9), (43), следует:

Если мы будем рассматривать силы, которые зависят от потенциала V, т. е. даются формулами (27), то из уравнения (46), положив, на основании (38), после простого вычисления получается

Но если принять в расчет значение определенное формулой (43), то отсюда следует:

А это условие того, чтобы первая вариация интеграла

равнялась нулю. Утверждение называют обычно "принципом наименьшего действия" в форме Эйлера-Якоби. Оно содержит только утверждение о геометрической форме траектории, но не о течении движения во времени.