3. Кинематические и динамические условия совместности. Характеристики.

До сих пор мы все время предполагали, что решения волнового уравнения и уравнений теории упругости имеют непрерывные вторые производные. Однако, с математической стороны представляет значительный интерес рассмотрение решений, в которых уже первые производные имеют конечные или бесконечные разрывы.

Такие решения оказываются весьма полезными при решении общих задач теории распространения колебании.

Однако, этим не исчерпывается значение разрывных решений.

Целый ряд физических задач, по существу, лучше всего решается с помощью функций, имеющих разрывы первых производных.

Разберем один простейший класс таких решений, являющийся наиболее важным по своим приложениям.

Положим, что функция и, удовлетворяющая волновому уравнению (34) § 1, имеет разрывы первых производных на некоторой системе конечного числа простых линий, движущихся в плоскости В пространстве функция будет иметь разрывы первых производных на конечном числе поверхностей, относительно которых мы предположим, что они имеют определенную касательную плоскость, меняющуюся непрерывно, и ограниченные кривизны везде, кроме, может быть, конечного числа особых точек.

Предположим далее, что сама функция и непрерывна во всем пространстве.

Возьмем какую-нибудь точку на некоторой поверхности разрыва и лежащую вблизи нее точку непрерывности

Изучим поведение первых производных от и в точке при стремлении ее к по путям, некасательным к поверхности разрыва, и сделаем несколько гипотез относительно этого поведения.

Проведем в точке нормаль к поверхности ; направление этой нормали обозначим через Кроме того рассмотрим еще направления касательных точке Через обозначим какое-нибудь одно из этих направлений.

Предположим, что производная от и по любому направлению при стремлении к по любому некасательному пути стремится к определенному пределу, совпадающему с производной от и вдоль . Мы допустим далее, что это стремление — равномерное для всех точек поверхности разрыва и для всех путей, отличающихся от касательных на любую наперед фиксированную величину. Иными словами, если мы построим в точке поверхности разрыва конус с определенным углом растворения, ось которого совпадает с нормалью к поверхности, то стремление производных по к пределу будет равномерным для всех лежащих внутри такого конуса.

Далее, допустим, что при стремлении к по некасательному пути, производная от и по в точке либо имеет определенный предел, вообще говоря, различный по обеим сторонам стремление к которому равномерно в описанном смысле и который представляет собой непрерывную функцию, либо равномерно стремится к бесконечности определенного знака с одной или с обеих сторон.

Функцию, удовлетворяющую этим условиям, мы будем называть функцией с правильными сильными разрывами. Иногда эти условия называют кинематическими условиями совместности движения.

С кинематической точки зрения, условия совместности представляют собою просто условия дифференцируемости функции и вдоль поверхности разрыва и не содержат в себе никаких глубоких физических соображений.

Математически, кинематические условия совместности движения, то есть условия правильности разрывов заключаются в том, чтобы выражения:

были равномерно непрерывны при прохождении через поверхность в том смысле, как это отмечено выше, а выражение

равномерно стремилось в непрерывному пределу или к бесконечности определенного знака на каждой стороне

Кроме кинематических условий совместности мы наложим на наши решения еще некоторые ограничения, вытекающие из самого физического характера задачи. Мы потребуем, чтобы данное решение с правильными сильными разрывами могло быть приближенно представлено решением, не имеющим этих разрывов и имеющим непрерывные первые производные с любой наперед заданной точностью.

Иными словами, данное решение и должно быть пределом некоторой последовательности непрерывных решений:

При это и касательные производные от должны стремиться к и или соответственно к касательным производным от и равномерно во всем пространстве. Нормальные производные от должны равномерно стремиться к нормальным производным от и во всякой области, не содержащей поверхностей разрыва. Из этого предположения вытекает одно весьма важное следствие. Пусть некоторая поверхность в пространстве некасательная к поверхности разрыва и имеющая кусочно непрерывно меняющуюся касательную плоскость.

Рассмотрим интеграл, взятый по этой поверхности:

где и с совершенно произвольные, непрерывные и дифференцируемые функции. При сделанных нами допущениях можно утверждать, что

Докажем это утверждение сначала для одного простейшего случая. Пусть поверхность представляет собою часть плоскости а поверхностью разрыва служит плоскость Тогда, по предположению, и равномерно стремятся соответственно к

Подставляя вместо его выражение легко убеждаемся, что

Рассмотрим теперь:

интегрируя по частям по х, получим:

где через обозначен контур поверхности

Отсюда, переходя к пределу и интегрируя по частям еще раз, получим:

Сопоставляя эти результаты, получим:

что и требовалось доказать.

Для того чтобы доказать наше утверждение в общем случае, достаточно просто произвести замену независимых переменных, введя систему криволинейных координат таким образом, чтобы поверхность являлась поверхностью разрыва, а поверхность поверхностью При этом мы сразу придем в уже разобранному случаю.

Таким образом, теорема доказана.

Условия, наложенные нами на решения волнового уравнения, иногда называют динамическими условиями совместности.

Смысл этого названия мы выясним подробно несколько позднее. В литературе, вместо приведенного нами определения, мы можем часто встретить другие, которые совпадают с данными для громадного большинства практически важных задач, но для наших целей удобнее использовать именно это определение.

Посмотрим, какие математические следствия можно вывести из этого определения.

Для этого вспомним так называемую формулу Грина для линейных уравнений второго порядка. В применении к волновому уравнению эта формула имеет вид:

Если мы положим в этой формуле

то получим:

где любая замкнутая поверхность.

По доказанному в формуле (32), если поверхность не касается поверхности разрыва, можно перейти к пределу под знаком интеграла. Таким образом, мы получим:

Формула (33) иногда называется законом импульсов.

Если мы предположим, что некоторая функция и с непрерывными производными до второго порядка удовлетворяет условию (33) для произвольной

поверхности то отсюда вытекает, что эта функция удовлетворяет волновому уравнению.

Действительно, применяя эту формулу к объему V, ограниченному поверхностью получим:

Ввиду произвольности объема V

что и требовалось доказать.

Условие (33) является, как мы видели, непосредственным следствием сделанных нами предположений (28). Можно доказать и обратное. Из условия (33) вытекает, что функция и является пределом накоторой последовательности (28), причем стремление к пределу имеет место с такими оговорками, как это было указано выше. Мы не будем однако останавливаться на этом детальнее.

Второе важное следствие формулы (33) сводится к тому, что поверхности разрыва у правильных решений должны иметв очень специальный характер.

Рис. 49.

Переходим к анализу этого обстоятельства. Опишем вокруг некоторой точки лежащей на поверхности разрыва сферу а достаточно малого радиуса, такую, что нормали к проведенные из точек внутри а, не встречают больше внутри этой поверхности (см. рис. 49), и проведем две поверхности, параллельные близкие к ней: и Обозначим через и области, ограниченные и и соответственно и не содержащие точек Части сферы о, являющиеся границами этих областей, назовем соответственно о, и

Применяя к поверхностям, ограничивающим формулу (33), получим:

В силу наших предположений о характере разрывов функции и, интегралы по и по имеют определенный предел при стремлении Отсюда вытекает существование определенного конечного предела у интегралов по

Как известно из определения параллельных поверхностей, точки поверхности получаются, если мы отложим равные отрезки на каждой нормали, восставленной в точке поверхности Таким образом, между точками и существует взаимно однозначное соответствие по нормали. При этом каждая нормаль к одной из этих поверхностей встречает другую в соответствующей

точке и является нормалью также и для другой поверхности. Поэтому направления касательных плоскостей в соответствующих точках совпадают. Построим теперь в каждой точке поверхности вектор составляющие которого равны

Этот вектор, очевидно, остается постоянным в соответствующих точках при стремлении

Подинтегральное выражение в левой части (34), очевидно, представляет собой скалярное произведение вектора на градиент функции . Разложим вектор на сумму двух векторов:

так, чтобы вектор был направлен по нормали к а вектор был перпендикулярен

Очевидно, что будут непрерывными функциями на поверхности -Основное утверждение, которое мы будем докалывать, заключается в том, что если решение и удовлетворяет динамическим условиям совместности, то вектор должен обратиться в нуль тождественно.

Для доказательства рассмотрим сначала случай, когда на поверхности нормальная производная от и, при перемещении точки по нормали со стороны обращается в бесконечность определенного знака.

Очевидно, что подинтегральное выражение в левой части формулы (34), может быть представлено в виде:

где через обозначены длины векторов а черев направление вектора которое, очевидно, является касательным к Если длина вектора в окрестности некоторой точки на поверхности не обращается в нуль, то она, очевидно, сохраняет постоянный гнак. Тогда, выбрав сферу достаточно малого радиуса, можно достигнуть того, чтобы выражение (35) стремилось к бесконечности определенного знака при стремлении к всюду внутри . При этом интеграл по будет стремиться к бесконечности при стремлении что противоречит доказанному выше утверждению.

Отсюда вытекает, что должно быть равно нулю, так что вектор перпендикулярен к нормали к или, что то же, к нормали Наше утверждение доказано.

Переходим теперь к исследованию случая, корда нормальная производная от и имеет различные конечные пределы с разных сторон

Складывая формулы (34) и замечая, что применение формулы (33) по всей сфере дает:

мы убеждаемся, что:

Так как такое предельное равенство справедливо для любой точки и для сколь угодно малой области, то, очевидно, подинтегральные выражения в пределе отличаются только знаком. Так как направления нормалей также отличаются знаком, то мы видим, что выражение:

имеет определенный конечный предел, одинаковый с обеих сторон поверхности есть является непрерывным при прохождении сквозь поверхность. Это выражение может быть представлено в виде (35). Если не было равно нулю в какой-нибудь точке, то благодаря тому, что нормальная производная терпит разрыв при прохождении сквозь было бы разрывной функцией. Мы получаем противоречие. Отсюда, как и прежде, вытекает обращение в нуль.

Таким образом, во всех случаях вектор должен быть перпендикулярен к нормали к поверхности разрыва. Математически это условие может быть записано в виде:

Условие (37) и представляет собой наиболее удобную геометрическую формулировку динамических условий совместности.

Из справедливости этого условия вытекает и справедливость закона импульсов.

Решения волнового уравнения, удовлетворяющие кинематическим и динамическим условиям совместности, мы будем называть правильными разрывными решениями.

Отметим еще одну аналитическую формулировку динамических условий совместности, представляющую теоретический интерес.

Как мы видели, формула (33), выражающая закон импульсов, приводит нас к требованию ограниченности и непрерывности выражения:

Рассмотрим теперь систему равенств (26) и (36) как систему линейных уравнений относительно

Попробуем разрешить эту систему относительно всех частных производных от неизвестной функции и.

Если бы это оказалось возможным, то выражались бы определенными линейными функциями от и и были бы непрерывны при переходе сквозь поверхность Тогда не была бы поверхностью разрыва.

Если же 2 является поверхностью, где хоть одна из частных производных от и терпит разрыв, то ранг таблицы:

должен быть меньше трех.

Приравнивая нулю все миноры третьего порядка этой таблицы, которые не являются тождественным нулем, получим опять:

Обратно, если условие (37) выполнено, то динамические условия совместности являются следствиями кинематических, так как при этом линейно зависит от непрерывности (26) следует непрерывность (36).

Уравнение (37) называется уравнением характеристик, а поверхности, ему удовлетворяющие, характеристиками волнового уравнения. Если мы напишем уравнение поверхности разрыва в неявном виде:

то условие (37) может быть записано в виде:

Наши результаты окончательно могут быть сформулированы так. Правильными разрывными решениями волнового уравнения будут такие решения, которые имеют правильные разрывы вдоль характеристик, то есть неверности разрыва должны удовлетворять условию (40).