4. Отражение и электрические изображения.

Электростатические задачи упомянутого типа, относящиеся к таким пограничным поверхностям, как плоркости и сферы, часто могут быть решены способом зеркального отражения. Если, например, область пространства, в которой изучается электрическое поле, ограничена проводящей плоскостью, например, поверхностью вемли или плоской металлической поверхностью, то потенциал должен вдоль «той поверхности принимать постоянное значение. Это условие может быть удовлетворено посредством отражения в плоскости, причем задача, которая первоначально была поставлена только для полупространства, ограниченного плоскостью, превращается в подобную же задачу для всего пространства.

Конечно, физически реальным является только поле в заданном полупространстве, которое мы будем называть физическим пространством.

Пусть проводящая пограничная плоскость есть плоскость а физическое пространство — область Далее пусть известен потенциал который кроме координат х, у, z, зависит еще от параметров например от координат источников поля. Он удовлетворяет уравнению где есть плотность заряда, заданная как функция Тогда отраженная функция:

удовлетворяет потенциальному уравнению:

Мы получим ее, отражая источники в пограничной плоскости вычисляя поле этого отраженного распределения заряда. Поэтому вдоль плоскости следовательно, потенциал удовлетворяет вдоль плоскости поставленному условию (7). Кроме того, если источники поля лежали в физическом пространстве, то источники поля лежат вне его, так что в физическом пространстве, как и требуется,

Пусть, например, имеется один единственный точечный заряд в точке и ищется поле этого варяда и проводящей плоскости Мы получаем тогда решение:

для полупространства Для полупространства имеем равенство Индуктированный заряд в действительности расположен вдоль поверхности . Его плотность, как показывает вычисление, равна:

Чтобы вычислить сумму этих зарядов, положим Мы найдем после элементарного вычисления:

Она, следовательно, равна и противоположна по знаку индуктирующему заряду, как это и должно быть в силу теоремы Гаусса (12).

Если физическое пространство ограничивается не плоскостью, а сферической поверхностью, то "отражение в сфере" является непосредственным обобщенем этого метода. В общем случае задача заключается в том, что пространство разделяется поверхностью на две части и ищутся две функции которые вдоль пограничной поверхности имеют равные и противоположные по внаку значения, причем одна из этих функций является регулярной потенциальной функцией в одной области, а другая в другой. Сфера отличается от остальных поверхностей тем, что каждая из функций может быть в этом случае просто выражена через другую.

Если а есть радиус сферы, а пространственные полярные координаты, отнесенные к ее центру, то заданной потенциальной функции всегда можно получить другую, удовлетворяющую уравнению Лапласа потенциальную функцию и обратно, посредством взаимного соотношения:

Эти соотношения свявывают значение в точке и значение в отраженной точке — которая соответствует первой точке в силу преобразования обратных радиусов и, кроме того, очевидно вдоль поверхности сферы Обе связанные таким образом потенциальные функции являются зеркальными изображениями друг друга по отношению к сфере радиуса

Примером этого является "потенциал индуктированного заряда".

Незаряженная проводящая сфера помещена в иоде точечного электрического заряда, который находится вне сферы в точке имеют тот же смысл, что и вышё, есть расстояние точечного заряда от центра сферы, причем заряд лежит на радиусе, соответствующем Пусть есть расстояние некоторой точки от этого заряда (рис. 68).

Точке соответствует, в силу преобразования обратными радиусами, точка с координатами расстояпие которой до точки А пусть равно Тогда мы имеем:

Рис. 68.

Первоначальное поле заряда имело потенциал

Зеркальное изображение этой функции в том смысле, какой мы этому выражению придали выше, есть:

здесь т. е. корень в знаменателе последней формулы, означает расстояние точки от точки зеркального изображения А в сфере. Это означает, что отраженная функция как и первоначальная функция есть функция, имеющая один простой полюс; ее полюсом является зеркальное изображение

заданного полюса, а именно, точка а ее заряд равен

Так как самая общая потенциальная функция может быть составлена из таких "полюсных функций" (кулоновых полей; см. § 1), то это вычисление можно, между прочим, рассматривать как простейшее доказательство правила отражения.

Функцию в физическом пространстве можно рассматривать как поле некоторого заряда, распределенного по поверхности сферы, причем полный заряд но теореме Гаусса равен фиктивному заряду Истинная плотность заряда вдоль поверхности, умноженная на равна:

Из введенпых выше определений следует при известное геометрическое соотношение для отражеппя: и кроме того На основании этих уравнений, члены с множителем выпадают из уравнения и остается плотность заряда:

откуда видно, что плотность заряда обратно пропорциональна 3-й степени расстояния от полюса А, создающего поле.

Фупкция удовлетворяет требуемым электростатическим условиям во внешнем пространстве и на границе сферы. Однако это решение соответствует не случаю незаряженной сферы, а тому условию, чтобы потенциал был равен нулю как на поверхности сферы, так и на бесконечности, — следовательно, соответствует случаю заземленной сферы. Вычисленный заряд сферы оказался равным Чтобы найти поле незаряженной сферы, образуем потенциальную функцию:

которая получается, если в центре сферы имеется добавочный полюс с зарядом — Так как вдоль поверхности сферы то, значит, вдоль этой поверхности:

следовательно, потенциальная функция равна значению первоначальной потенциальной функции в центре сферы. Потенциал внутри сферы принимает как раз это постоянное значение.