3. Тело, ограниченное двумя плоскостями.

Мы сделаем теперь еще один шаг дальше, а именно возьмем тело, ограниченное двумя плоскостями, на которых поддерживается постоянная температура. Начальная температура произвольна. Начальные и граничные условия, имеют следующий вид:

Мы можем расчленить задачу на две части; именно, положим где определяются следующими условиями:

Для определения и, мы применим метод, подобный примененному в § 2, 1, пытаясь из частных решений составить общее. В качестве такого частного решения (1) мы имели там функцию Определим прежде всего постоянную X так, чтобы были выполнены граничные условия. Для этого, очевидно, надо положить где произвольное целое число. Мы можем теперь, в силу линейности и однородности (1), построить общее решение, умножив частные решения на произвольные постоянные и сложив их:

Спрашивается, можно ли здесь коэффициенты определить так, чтобы было выполнено начальное условие:

Но это не что иное как разложение функции в ряд Фурье но аргументам коэффициенты которого определяются как

Подставляя это выражение в (13), получим окончательно:

Подставляя сюда, например, получим:

Функция для различных значений представлена графически на рис. 61.

Перейдем теперь к определению Функция очевидно удовлетворяет дифференциальному уравнению и граничным условиям (12). Чтобы удовлетворить теперь начальному условию, прибавим к решение исчезающее

на обеих границах и в момент нуль как раз равное . Это решение мы получим, если в (14) положим Тогда получим:

Интеграл, легко вычисляемый интегрированием по частям, равен так что равно

Искомое и окончательно равно:

При сумма исчезает и, следовательно, через достаточно большой промежуток времени устанавливается стационарное распределение:

Это распределение, в котором и есть функция только места, но не времени, можно, конечно, получить непосредственно из дифференциального уравнения. Именно, если и не зависит от времени, то и мы должны искать решение дифференциального уравнения при поставленных выше граничных условиях. Решение есть линейная функция от х, определяемая граничными условиями в согласии с (18).

Рис. 61.